Seja a função
f(x, y)=cc x y^2x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(a) Calcule partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y).
(b) Mostre que f não é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx,y^2x^2+y^4,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede em (a) as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y, e em (b) mostrar que f não é contínua em (0,0). Para (a) vamos usar a regra do quociente, e para (b) escolhemos um caminho que mostre que lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não vale 0.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) escrevemos
u(x,y)=x,y^2, v(x,y)=x^2+y^4,
logo f=tfracuv. A regra do quociente dá
partial fpartial x =ux,v - u,vxv^2,
onde ux=y^2 e vx=2x. Substituindo,
partial fpartial x =y^2(x^2+y^4)-x,y^2,(2x)(x^2+y^4)^2 =y^2,x^2 +y^6 -2x^2y^2(x^2+y^4)^2 =y^2(y^4 - x^2)(x^2+y^4)^2

Passo 3

De modo análogo, para (x,y)neq(0,0) temos uy=2xy e vy=4y^3, então
partial fpartial y =2xy,(x^2+y^4)-x,y^2,(4y^3)(x^2+y^4)^2 =2x^3y +2xy^5 -4xy^5(x^2+y^4)^2 =2xy(x^2 - y^4)(x^2+y^4)^2

Passo 4

Em (0,0) usamos definição:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
pois f(h,0)=0. Similarmente
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-0h =0

Passo 5

Para testar continuidade em (0,0) calculamos
f(y^2,y) =y^2cdot y^2(y^2)^2 + y^4 =y^42y^4 =12 (para yneq0)
Quando yto0, f(y^2,y)totfrac12neq0=f(0,0). Logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe igual a 0, e f não é contínua em (0,0).

Resposta

(a) Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x =y^2l(y^4 - x^2r)(x^2+y^4)^2, partial fpartial y =2xyl(x^2 - y^4r)(x^2+y^4)^2,
e em (0,0) ambas valem 0.
(b) f não é contínua em (0,0) porque ao longo de x=y^2 temos
lim f(y^2,y)=tfrac12neq0.

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