e pede em (a) as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y, e em (b) mostrar que f não é contínua em (0,0). Para (a) vamos usar a regra do quociente, e para (b) escolhemos um caminho que mostre que lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não vale 0.]
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) escrevemos
u(x,y)=x,y^2, v(x,y)=x^2+y^4,
logo f=tfracuv. A regra do quociente dá
partial fpartial x =ux,v - u,vxv^2,
onde ux=y^2 e vx=2x. Substituindo,
partial fpartial x =y^2(x^2+y^4)-x,y^2,(2x)(x^2+y^4)^2 =y^2,x^2 +y^6 -2x^2y^2(x^2+y^4)^2 =y^2(y^4 - x^2)(x^2+y^4)^2
Passo 3
De modo análogo, para (x,y)neq(0,0) temos uy=2xy e vy=4y^3, então
partial fpartial y =2xy,(x^2+y^4)-x,y^2,(4y^3)(x^2+y^4)^2 =2x^3y +2xy^5 -4xy^5(x^2+y^4)^2 =2xy(x^2 - y^4)(x^2+y^4)^2