Calcule os valores de a para os quais a distância de A=(a, 2 a, a+1) ao plano x+y-z+7=0 é igual a 2 raiz3.

Passo 1

Temos o ponto A=(a,2a,a+1) e o plano dado por
x+y-z+7=0
Queremos os valores de a tais que a distância de A a esse plano seja 2raiz3. Para isso vamos usar a fórmula da distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano Ax+By+Cz+D=0:
d = l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2+B^2+C^2

Passo 2

No nosso caso, A=1, B=1, C=-1 e D=7. Substituindo (x0,y0,z0)=(a,2a,a+1) no numerador:
1cdot a + 1cdot(2a) + (-1)cdot(a+1) + 7 = a + 2a - a -1 +7 = 2a + 6
O denominador é
raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz3
Logo a distância é
d = l|2a+6r|raiz3

Passo 3

Queremos d = 2raiz3. Então
l|2a+6r|raiz3 = 2raiz3 Longrightarrow l|2a+6r| = 2raiz3,raiz3 = 6

Passo 4

Resolvendo ,|2a+6|=6:
2a+6 = 6 ;Longrightarrow; 2a=0 ;Longrightarrow; a=0,
2a+6 = -6 ;Longrightarrow; 2a=-12 ;Longrightarrow; a=-6

Resposta

a = 0 ou a = -6.

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