Determmine o ponto O do plano x-y+2 z+3=0 que seja equidistante dos pontos U=(4,1,-2), V=(0,0,-5), W=(-5,-2,3).

Passo 1

O enunciado pede um ponto O=(x,y,z) que satisfaça duas coisas:
  1. Esteja no plano
x - y + 2z + 3 = 0
  1. Seja equidistante dos pontos
U=(4,1,-2), V=(0,0,-5), W=(-5,-2,3)
Para dizer que O é equidistante de U e V usamos
|O-U|^2 = |O-V|^2,
e de U e W usamos
|O-U|^2 = |O-W|^2
Como |O-P|^2 é uma expressão quadrática em (x,y,z), ao igualarmos pares delas as partes quadráticas se cancelam e obtemos retas ou planos lineares em (x,y,z).

Passo 2

Escrevendo |O-U|^2 = (x-4)^2+(y-1)^2+(z+2)^2 e |O-V|^2 = x^2+y^2+(z+5)^2, impondo
|O-U|^2 - |O-V|^2 = 0
temos
(x-4)^2+(y-1)^2+(z+2)^2 - l(x^2+y^2+(z+5)^2r)=0
Expandindo e cancelando x^2,y^2,z^2
-8x -2y -6z -4 = 0,
ou simplificando
4x + y + 3z + 2 = 0

Passo 3

Agora igualamos |O-U|^2 a |O-W|^2. Como
|O-W|^2=(x+5)^2+(y+2)^2+(z-3)^2,
(x-4)^2+(y-1)^2+(z+2)^2 - l((x+5)^2+(y+2)^2+(z-3)^2r)=0
leva, após expandir e cancelar termos quadráticos, a
18x +6y -10z +17 = 0

Passo 4

Temos assim três equações lineares para
Podemos simplificar eliminando variáveis. Por exemplo, da primeira e da segunda eliminamos :
menos 2ª:
.

Passo 5

Agora usamos
6x +28z -5=0, x - y +2z +3=0
De 6x+28z=5 vem
x = 5-28z6
Da equação do plano y = x +2z +3. Substituímos x em y e depois numa das equações para achar z:
y=5-28z6+2z+3 =5-28z+12z+186 =23-16z6
Inserindo em 4x+y+3z+2=0 (ou em 6x+28z-5=0) resulta z=tfrac12. Então
x=5-28cdot126=-32, y=23-16cdot126=52

Resposta

O = l(-tfrac32,;tfrac52,;tfrac12r)

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