Dados R=(3,-1,1), S=(3,0,2), T=(4,-1,2). Determinar as equações paramétricas da reta de pontos P=(x, y, z) equidistantes de R, S, T e determinar o ponto O Sdesta reta mais próximo possível de R, S, T.

Passo 1

O enunciado dá três pontos em R^3:
R=(3,-1,1), S=(3,0,2), T=(4,-1,2)
e pede a reta cujos pontos P=(x,y,z) satisfazem
lvert P-Rrvert=lvert P-Srvert=lvert P-Trvert
Essa reta é a interseção dos planos mediadores de RS e de RT. Depois, precisamos achar o ponto O dessa reta que minimiza a distância a R,S,T, ou seja, o pé da perpendicular de R sobre a reta.

Passo 2

Perpendicular bisector de RS:
  1. Vetor RS=S-R=(0,1,1).
  2. Ponto médio
M=R+S2=l(3,,-tfrac12,,tfrac32r)
  1. A equação do plano é
RScdotl(P-Mr)=0 Longrightarrow (0,1,1)cdotl(x-3,;y+tfrac12,;z-tfrac32r)=0
Longrightarrow;y+tfrac12+z-tfrac32=0 Longrightarrow y+z=1

Passo 3

Perpendicular bisector de RT:
  1. Vetor RT=T-R=(1,0,1).
  2. Ponto médio
N=R+T2=l(tfrac72,,-1,,tfrac32r)
  1. Plano
RTcdotl(P-Nr)=0 Longrightarrow (1,0,1)cdotl(x-tfrac72,;y+1,;z-tfrac32r)=0
Longrightarrow;x-tfrac72+z-tfrac32=0 Longrightarrow x+z=5

Passo 4

A reta é a interseção dos planos
y+z=1, x+z=5
Escolhendo parâmetro t=z, temos
x=5-t, y=1-t, z=t
Logo as equações paramétricas são
x=5-t, y=1-t, z=t, tinR

Passo 5

Para achar o ponto O mais próximo de R, tomamos a forma vetorial da reta:
P(t)=P0+t,d, P0=(5,1,0),;d=(-1,-1,1)
O pé da perpendicular de R é dado por
t0=dcdot(R-P0)lvert drvert^2 =(-1,-1,1)cdot(-2,-2,1)(-1)^2+(-1)^2+1^2 =53
Então
O=Pl(t0r) =l(5,1,0r)+53,(-1,-1,1) =l(tfrac103,-tfrac23,tfrac53r)

Resposta

A reta equidistante de R,S,T tem equações paramétricas
x=5-t, y=1-t, z=t, tinR,
e o ponto O desta reta mais próximo de R, S e T é
O=l(tfrac103,,-tfrac23,,tfrac53r)

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