Determine a tal que r=lx=a+2 a lambda y=2+8 lambda z=a-1+a lambda seja paralela ao plano 2 x-y+4 z-12=0 e a distância de r ao plano.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
r: x = a + 2a,lambda, y = 2 + 8,lambda, z = a-1 + a,lambda,
e pede (i) o valor de a para que r seja paralela ao plano
2x - y + 4z - 12 = 0
e (ii) a distância dessa reta ao plano. Vamos usar: vetor diretor da reta, vetor normal do plano, condição de paralelismo ( vperp n) e fórmula de distância ponto-plano.

Passo 2

O vetor diretor de r é
v = (2a,;8,;a),
e o vetor normal do plano é
n = (2,,-1,,4)
Para que a reta seja paralela ao plano, devemos ter
v cdot n = 0 ;Longrightarrow; (2a)cdot2 + 8cdot(-1) + acdot4 = 0 ;Longrightarrow; 4a - 8 + 4a = 0 ;Longrightarrow; 8a = 8 ;Longrightarrow; a = 1

Passo 3

Com a=1, uma boa escolha de ponto em r é para lambda=0, ou seja
P0 = (1,,2,,0)
A equação do plano é 2x - y + 4z -12=0. A fórmula da distância de um ponto P0 ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
d = l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 4

Aqui A=2, B=-1, C=4, D=-12 e
A x0 + B y0 + C z0 + D = 2cdot1 + (-1)cdot2 + 4cdot0 -12 = 2 - 2 -12 = -12,
logo l|cdotr|=12. E
raizA^2 + B^2 + C^2 = raiz2^2 + (-1)^2 + 4^2 = raiz4 + 1 + 16 = raiz21
Portanto
d = 12raiz21 = 4raiz217

Resposta

a = 1
Distância d = dfrac12raiz21 = dfrac4raiz217

Exercícios relacionados