Dois corpos têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s_{1}=t^{3}+4 t^{2}+t-1 e s_{2}=2 t^{3}-5 t^{2}+t+2. Determine a velocidade e a posição dos dois corpos no instante em que as suas acelerações são iguais. Considere s_{1} e s_{2} em metros e t em segundos.

Passo 1

O enunciado dá as posições dos corpos em função do tempo:
s_{1}(t)=t^{3}+4t^{2}+t-1,\quad s_{2}(t)=2t^{3}-5t^{2}+t+2.
Queremos achar a velocidade ( v=\dot s) e a posição de cada corpo no instante em que as acelerações ( a=\dot v) são iguais. Para isso vamos:
1. calcular v_1(t) e v_2(t) pelas primeiras derivadas;
2. calcular a_1(t) e a_2(t) pelas segundas derivadas;
3. resolver a_1(t)=a_2(t) para achar o instante t;
4. avaliar velocidades e posições nesse t.

Passo 2

Derivando as posições para obter as velocidades:
v_1(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}+4t^{2}+t-1\bigr)=3t^{2}+8t+1
v_2(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2t^{3}-5t^{2}+t+2\bigr)=6t^{2}-10t+1

Passo 3

Derivando as velocidades para obter as acelerações:
a_1(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}+8t+1\bigr)=6t+8
a_2(t)=\frac{d}{dt}\bigl(6t^{2}-10t+1\bigr)=12t-10

Passo 4

Igualando a_1(t) e a_2(t):
6t+8=12t-10
6t=18
t=3\\ \text{(segundos)}

Passo 5

Agora avaliamos v_1, v_2, s_1 e s_2 em t=3.
v_1(3)=3\cdot3^{2}+8\cdot3+1=27+24+1=52\\ \text{m/s}
v_2(3)=6\cdot3^{2}-10\cdot3+1=54-30+1=25\\ \text{m/s}
s_1(3)=3^{3}+4\cdot3^{2}+3-1=27+36+3-1=65\\ \text{m}
s_2(3)=2\cdot3^{3}-5\cdot3^{2}+3+2=54-45+3+2=14\\ \text{m}

Resposta

Velocidades no instante em que as acelerações se igualam ( t=3 s):
v_{1} =52 m/s, v_{2} =25 m/s.
Posições no mesmo instante:
s_{1} =65 m, s_{2} =14 m.

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