Determine se as retas abaixo são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Calcule seu ponto de interseção (se existir), e o ângulo entre elas:
r_{1}: x-3=\frac{z-2}{7} ; y=4;

Passo 1

O enunciado pede que se determine se as retas (no plural) são: paralelas, coincidentes, concorrentes (intersectantes) ou reversas (skew). Também pede para calcular o ponto de interseção (se existir) e o ângulo entre elas.
As informações fornecidas no enunciado são apenas a equação de uma única reta:
r_{1}:\; x-3=\frac{z-2}{7},\qquad y=4.
Não há nenhuma outra reta fornecida no enunciado (por exemplo, não foi dada uma r_{2} ou r_{3}).

Passo 2

Posso extrair toda a informação possível sobre a reta r_{1} fornecida e explicar o que seria necessário para comparar duas retas. Primeiro, passo r_{1} para forma paramétrica/vetorial, que é a forma mais prática para cálculos.
Da equação \;x-3=\dfrac{z-2}{7}\; e \;y=4\;, defino um parâmetro \,t tal que
t = x-3 = \frac{z-2}{7}.
Então isolando as coordenadas em função de t:
x = 3 + t,\qquad y = 4,\qquad z = 2 + 7t.
Em forma vetorial:
\mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\\ 4\\\ 2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 7\end{pmatrix}.
Portanto:
  • um ponto qualquer pertencente a r_{1} é \;P_0=(3,4,2)\; (quando t=0);
  • o vetor diretor de r_{1} é \;\mathbf{v}_1=(1,0,7)\;.
Explicação didática curta sobre por que isso ajuda: para comparar duas retas em \mathbb{R}^3 precisa-se dos vetores diretores e de pelo menos um ponto de cada reta; com essas informações decide-se se os vetores diretores são proporcionais (paralelismo), se um ponto de uma está na outra (coincidência), ou se as equações paramétricas admitem solução comum (interseção) — caso contrário, são reversas.

Passo 3

Critérios (passo a passo, explicando as fórmulas) para classificar duas retas r_1 e r_2 em \mathbb{R}^3 e como obter interseção e ângulo:
  1. Vetores diretores: escreva r_1:\;\mathbf{r}=\mathbf{a_1}+t\mathbf{v}_1 e r_2:\;\mathbf{r}=\mathbf{a_2}+s\mathbf{v}_2, onde \mathbf{a_1},\mathbf{a_2} são pontos e \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 são vetores diretores.
  2. Paralelas: as retas são paralelas se e somente se \mathbf{v}_1 é múltiplo escalar de \mathbf{v}_2, isto é, existem \lambda\in\mathbb{R} tal que \mathbf{v}_1=\lambda\mathbf{v}_2.
  3. Coincidentes: além de serem paralelas (vetores diretores proporcionais), deve existir um ponto de r_1 que satisfaça a equação de r_2 (ou equivalentemente \mathbf{a_2}-\mathbf{a_1} é proporcional ao vetor diretor).
  4. Interseção (concorrentes): se não são paralelas, tenta-se resolver o sistema vetorial
\mathbf{a_1}+t\mathbf{v}_1=\mathbf{a_2}+s\mathbf{v}_2
que é um sistema de três equações em duas incógnitas t,s. Se existir solução (t,s) real, as retas se intersectam e o ponto comum é \mathbf{a_1}+t\mathbf{v}_1.
  1. Reversas (skew): se os vetores diretores não são proporcionais e o sistema acima não tem solução, então as retas são reversas (não coplanares e sem interseção).
  2. Ângulo entre retas: o ângulo \theta entre as retas é o ângulo entre seus vetores diretores. Use a fórmula do produto escalar:
\cos\theta=\frac{\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2}{\|\mathbf{v}_1\|\|\mathbf{v}_2\|},
onde \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 é o produto escalar e \|\mathbf{v}\| é a norma (comprimento) do vetor \mathbf{v}. Em prática:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=v_{1x}v_{2x}+v_{1y}v_{2y}+v_{1z}v_{2z}, \qquad \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Se necessário, toma-se \theta\in[0,\pi/2] (ângulo agudo) usando \theta=\operatorname{arccos}\bigl(\dfrac{|\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2|}{\|\mathbf{v}_1\|\|\mathbf{v}_2\|}\bigr).

Passo 4

Aplicando os critérios ao caso concreto: para decidir entre paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas é obrigatório ter pelo menos duas retas (ou seja, conhecer \mathbf{v}_2 e \mathbf{a_2} de uma segunda reta). No enunciado só foi dada r_{1}. Portanto não é possível:
  • comparar vetores diretores (porque falta \mathbf{v}_2);
  • resolver o sistema para interseção (porque falta a segunda reta);
  • calcular o ângulo (porque falta o vetor diretor da outra reta).
Posso, no entanto, repetir a informação útil que obtivemos de r_1 (que será necessária assim que o usuário fornecer a outra reta):
\text{Ponto em }r_1:\; \mathbf{a_1}=\begin{pmatrix}3\\\ 4\\\ 2\end{pmatrix},\qquad \text{Vetor diretor: }\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 7\end{pmatrix}.

Passo 5

O que você precisa me enviar (para eu terminar a resolução completa do exercício): a equação da(s) outra(s) reta(s) com as quais devo comparar r_1 — por exemplo uma reta r_2 dada em forma paramétrica, simétrica ou cartesiana. Assim que eu tiver r_2 eu:
  • colocarei r_2 em forma vetorial \mathbf{a_2}+s\mathbf{v}_2;
  • checarei proporcionalidade entre \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 (para ver paralelismo/coinci­­dência);
  • tentarei resolver \mathbf{a_1}+t\mathbf{v}_1=\mathbf{a_2}+s\mathbf{v}_2 (para ver interseção);
  • se houver interseção, fornecerei o ponto comum; se não houver e não forem paralelas, direi que são reversas;
  • calcularei o ângulo usando o produto escalar entre \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2.
Se quiser já posso demonstrar rapidamente um exemplo numérico com uma reta hipotética para fixar a ideia — mas não o farei automaticamente para este enunciado porque não devo inventar a segunda reta.

Resposta

Não é possível determinar: falta a(s) equação(ões) da(s) demais reta(s) para comparar com r_{1}.

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