Calcule os valores de a para o qual o sistema
l a x+y+2 z=4 x+y=2 2 x+z=0 y-z=1
é possível.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede e quais conceitos vamos usar. Temos um sistema de equações com três variáveis x, y e z, e queremos encontrar os valores de a que fazem esse sistema ter solução. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, especificamente a técnica de eliminação de Gauss para simplificar o sistema e verificar suas condições de existência.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações:
l a x + y + 2 z = 4 (1) x + y = 2 (2) 2 x + z = 0 (3) y - z = 1 (4)
Nosso objetivo é resolver esse sistema e encontrar valores de a que permitam uma solução.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver as equações mais simples para expressar algumas variáveis em termos de outras. A equação (2) é x + y = 2, podemos isolar y:
y = 2 - x (5)

Passo 4

Agora, vamos para a equação (3): 2x + z = 0. Podemos isolar z:
z = -2x (6)

Passo 5

Com as expressões de y e z em termos de x, substituímos esses valores na equação (4): y - z = 1:
(2 - x) - (-2x) = 1 2 - x + 2x = 1 2 + x = 1 x = 1 - 2 x = -1

Passo 6

Agora que encontramos x = -1, vamos substituir esse valor nas equações (5) e (6) para encontrar y e z:
Para y:
y = 2 - (-1) = 3
Para z:
z = -2(-1) = 2
Então, temos x = -1, y = 3, z = 2.

Passo 7

Agora, precisamos verificar se esses valores satisfazem a primeira equação do sistema: a x + y + 2 z = 4. Substituindo x, y e z:
a(-1) + 3 + 2(2) = 4 - a + 3 + 4 = 4 - a + 7 = 4 - a = 4 - 7 - a = -3 a = 3

Resposta

O sistema possui solução quando a = 3.

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