Discuta e resolva, quando possível, os sistemas:
lx+2 y-z=0 2 x+4 y-2 z=0 3 x+6 y-3 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você me passou. A gente vai trabalhar com álgebra linear, especificamente com sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular as equações para encontrar os valores de x , y e z que satisfazem todas elas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as três equações que temos:
x + 2y - z = 0 (1) 2x + 4y - 2z = 0 (2) 3x + 6y - 3z = 0 (3)
Perceba que as equações (2) e (3) são múltiplos da equação (1). Isso significa que todas elas representam a mesma reta no espaço tridimensional. Portanto, não temos três equações independentes, mas sim essencialmente uma única equação.

Passo 3

Como as três equações são dependentes, o sistema tem infinitely many solutions. Isso quer dizer que existem infinitas combinações de x , y e z que satisfazem todas as equações.
Para expressar a solução, podemos escolher um dos termos como parâmetro. Vamos escolher y como nosso parâmetro livre, que chamaremos de t .

Passo 4

A partir da equação (1):
x + 2y - z = 0
Vamos isolar x :
x = z - 2y
Agora, expressamos x em função de y e z . Como y é nosso parâmetro t , temos:
x = z - 2t
Mas ainda temos duas variáveis livres ( z e t ), o que indica que a solução depende de duas parâmetros. Contudo, podemos simplificar escolhendo outro parâmetro. Para facilitar, vamos escolher z = s , onde s é outro parâmetro.

Passo 5

Com isso, as soluções do sistema podem ser escritas como:
x = s - 2t y = t z = s
Aqui, t e s podem ser quaisquer números reais. Isso nos dá uma descrição completa das soluções do sistema.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas em termos de dois parâmetros [t) e da seguinte forma:
Onde (t, s \in \mathbb{R}].

Exercícios relacionados