Discuta o sistema
l a x-b y=7 2 x+5 y=1

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com dois parâmetros
O conteúdo é resolução de sistema (2\times2] usando teoria de determinantes e o método de Cramer para discutir número de soluções.

Passo 2

Calculemos o determinante dos coeficientes:
De<a = a & -b [6pt] 2 & 5 = acdot5 - (-b)cdot2 = 5a + 2b
Se De<a neq 0, o sistema tem solução única (é compatível determinado).]

Passo 3

Quando De<a = 0 o sistema pode ser ou incompatível ou ter infinitas soluções. Para ver o caso, aplicamos Cramer e calculamos:
De<ax = 7 & -b [4pt] 1 & 5 = 7cdot5 -(-b)cdot1 = 35 + b,
De<ay = a & 7 [4pt] 2 & 1 = acdot1 - 7cdot2 = a - 14 ]

Passo 4

No caso De<a=0 (ou seja 5a+2b=0):
  • Se De<ax=0 e De<ay=0, acontece sistema compatível indeterminado. As equações 35 + b = 0, a - 14 = 0 dão b=-35 e a=14, e de fato 5cdot14+2cdot(-35)=0.
  • Se 5a+2b=0 mas (a,b)neq(14,-35), então ou De<axneq0 ou De<ayneq0, o que torna o sistema incompatível (sem solução).

Resposta

Para 5a+2bneq0 o sistema é compatível determinado (solução única).
Para (a,b)=(14,-35) o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).
Para 5a+2b=0 e (a,b)neq(14,-35) o sistema é incompatível (sem solução).

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