Sabendo-se que entre os lados e os ângulos de triângulo existem as relações:
l a=b cos (C)+c cos (B) b=c cos (A)+a cos (C) c=a cos (B)+b cos (A)
Deduza a relação que existe entre os cossenos de A, B e C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três equações que relacionam os lados a, b e c de um triângulo com os cossenos dos ângulos opostos A, B e C. O objetivo é descobrir qual é a relação que une cos A, cos B e cos C.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as três equações fornecidas:
l a = b cos C + c cos B b = c cos A + a cos C c = a cos B + b cos A
Nosso objetivo é eliminar os lados a, b e c para encontrar uma relação apenas entre os cossenos dos ângulos.

Passo 3

Vamos somar as três equações acima para facilitar a eliminação:
a + b + c = b cos C + c cos B + c cos A + a cos C + a cos B + b cos A
Simplificando o lado direito:
a + b + c = a (cos B + cos C) + b (cos A + cos C) + c (cos A + cos B)

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação trazendo tudo para o lado esquerdo:
a (1 - cos B - cos C) + b (1 - cos A - cos C) + c (1 - cos A - cos B) = 0
Como a, b e c são lados positivos do triângulo, a única maneira dessa equação ser igual a zero é se cada coeficiente individual for igual a zero:
1 - cos B - cos C = 0 1 - cos A - cos C = 0 1 - cos A - cos B = 0

Passo 5

Resolvendo cada uma dessas equações:
cos B + cos C = 1 cos A + cos C = 1 cos A + cos B = 1
Isso implica que:
cos A = cos B = cos C = 12

Resposta

A relação entre os cossenos dos ângulos é:
cos A = cos B = cos C = 12

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