Sabendo-se que entre os lados e os ângulos de triângulo existem as relações:
Deduza a relação que existe entre os cossenos de A, B e C.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos três equações que relacionam os lados a, b e c de um triângulo com os cossenos dos ângulos opostos A, B e C. O objetivo é descobrir qual é a relação que une cos A, cos B e cos C.
Passo 2
Vamos começar escrevendo as três equações fornecidas:
l a = b cos C + c cos B b = c cos A + a cos C c = a cos B + b cos A
Nosso objetivo é eliminar os lados a, b e c para encontrar uma relação apenas entre os cossenos dos ângulos.
Passo 3
Vamos somar as três equações acima para facilitar a eliminação:
a + b + c = b cos C + c cos B + c cos A + a cos C + a cos B + b cos A
Simplificando o lado direito:
a + b + c = a (cos B + cos C) + b (cos A + cos C) + c (cos A + cos B)
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação trazendo tudo para o lado esquerdo:
a (1 - cos B - cos C) + b (1 - cos A - cos C) + c (1 - cos A - cos B) = 0
Como a, b e c são lados positivos do triângulo, a única maneira dessa equação ser igual a zero é se cada coeficiente individual for igual a zero:
1 - cos B - cos C = 0 1 - cos A - cos C = 0 1 - cos A - cos B = 0
Passo 5
Resolvendo cada uma dessas equações:
cos B + cos C = 1 cos A + cos C = 1 cos A + cos B = 1