Calcule os valores de m para os quais temos -2 x^2+6 x+(m-1)<0, forall x in R.

Passo 1

O enunciado pede os valores de m tais que a função quadrática
f(x) = -2x^2 + 6x + (m-1)
seja estritamente negativa para todo xinR. O conteúdo necessário é análise de inequação quadrática, usando o sinal do coeficiente líder e do discriminante.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral ax^2+bx+c:
a = -2, b = 6 e c = m-1. Para uma parábola com a<0 ser sempre negativa, precisamos que não haja raízes reais, ou seja, o discriminante seja negativo ( De<a<0).

Passo 3

Verificamos imediatamente que
a = -2 < 0,
logo a parábola abre para baixo e assume valores negativos longe do vértice, restando impor De<a<0.

Passo 4

Calculamos o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = 6^2 - 4cdot(-2)cdot(m-1) = 36 +8(m-1) = 28 + 8m
Para não haver raízes reais, exigimos
De<a < 0 Longrightarrow 28 + 8m < 0

Passo 5

Resolvendo a inequação para m:
28 + 8m < 0 Longrightarrow 8m < -28 Longrightarrow m < -tfrac288 Longrightarrow m < -tfrac72

Resposta

m < -tfrac72

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