Considere a função quadrática f(x)=-x^2-6 x+16 :
a) Encontre suas raízes reais (se tiver).
b) Encontre as coordenadas de seu vértice.
c) Construa o seu gráfico.
d) Determine o seu conjunto-imagem.
e) Determine o intervalo em que ela é crescente e o intervalo em que ela é decrescente.
f) Realize o estudo de sinais da função.

Passo 1

O enunciado nos dá a função quadrática
f(x) = -x^2 - 6x + 16
e pede: (a) raízes reais, (b) vértice, (c) gráfico, (d) conjunto-imagem, (e) intervalos de crescimento/decrescimento e (f) estudo de sinais. Para isso vamos usar o discriminante para as raízes, a fórmula do vértice e lembrar que, como o coeficiente de x^2 é negativo, a parábola é côncava para baixo.

Passo 2

Calcular o discriminante
De<a = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4cdot(-1)cdot16 = 36 + 64 = 100
Como De<a>0, há duas raízes reais dadas por
x = -b pm raizDe<a2a = -(-6)pm102cdot(-1) = 6pm10-2
Logo
x1 = 6+10-2 = -8, x2 = 6-10-2 = 2

Passo 3

Determinar o vértice. A abscissa é
xv = -b2a = --62cdot(-1) = -3
A ordenada é yv=f(xv):
yv = -(-3)^2 - 6(-3) + 16 = -9 + 18 + 16 = 25
Portanto, o vértice é (-3,25) e o eixo de simetria é x=-3.

Passo 4

Construir o gráfico qualitativamente. Como a=-1<0, a parábola é côncava para baixo, tem vértice em (-3,25), intercepta o eixo x em (-8,0) e (2,0) e intercepta o eixo y em f(0)=16. Basta ligar esses pontos de modo suave, respeitando a concavidade para baixo.

Passo 5

Determinar o conjunto-imagem. Como a parábola atinge máximo em yv=25 e decresce para -infty nas pontas, temos
Im(f) = (-infty,,25]

Passo 6

Definir monotonicidade. A parábola cresce até o vértice e decresce depois. Logo
crescente em (-infty,-3), decrescente em (-3,infty)

Passo 7

Fazer o estudo de sinais. As raízes em -8 e 2 dividem a reta em três regiões. Como a parábola é côncava para baixo, ela fica
– negativa para x< -8,
– positiva para -8< x<2,
– negativa para x>2.
Em x=-8 e x=2, f(x)=0.

Resposta

a) As raízes são x=-8 e x=2.
b) O vértice é (-3,25).
c) É uma parábola côncava para baixo, vértice em (-3,25), zeros em (-8,0) e (2,0) e intercepto y em (0,16).
d) Im(f)=(-infty,25].
e) Crescente em (-infty,-3) e decrescente em (-3,infty).
f) f(x)<0 para x< -8 ou x>2; f(x)=0 em x=-8,2; f(x)>0 para -8< x<2.

Exercícios relacionados