Considere a função quadrática
:
a) Encontre suas raízes reais (se tiver).
b) Encontre as coordenadas de seu vértice.
c) Construa o seu gráfico.
d) Determine o seu conjunto-imagem.
e) Determine o intervalo em que ela é crescente e o intervalo em que ela é decrescente.
f) Realize o estudo de sinais da função.
a) Encontre suas raízes reais (se tiver).
b) Encontre as coordenadas de seu vértice.
c) Construa o seu gráfico.
d) Determine o seu conjunto-imagem.
e) Determine o intervalo em que ela é crescente e o intervalo em que ela é decrescente.
f) Realize o estudo de sinais da função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função quadrática
e pede: (a) raízes reais, (b) vértice, (c) gráfico, (d) conjunto-imagem, (e) intervalos de crescimento/decrescimento e (f) estudo de sinais. Para isso vamos usar o discriminante para as raízes, a fórmula do vértice e lembrar que, como o coeficiente de
é negativo, a parábola é côncava para baixo.
Passo 2
Calcular o discriminante
Como
, há duas raízes reais dadas por
Logo
Passo 3
Determinar o vértice. A abscissa é
A ordenada é
:
Portanto, o vértice é
e o eixo de simetria é
.
Passo 4
Construir o gráfico qualitativamente. Como
, a parábola é côncava para baixo, tem vértice em
, intercepta o eixo
em
e
e intercepta o eixo
em
. Basta ligar esses pontos de modo suave, respeitando a concavidade para baixo.
Passo 5
Determinar o conjunto-imagem. Como a parábola atinge máximo em
e decresce para
nas pontas, temos
Passo 6
Definir monotonicidade. A parábola cresce até o vértice e decresce depois. Logo
Passo 7
Fazer o estudo de sinais. As raízes em
e
dividem a reta em três regiões. Como a parábola é côncava para baixo, ela fica
– negativa para ,
– positiva para ,
– negativa para .
Em e
,
.
– negativa para
– positiva para
– negativa para
Em
Resposta
a) As raízes são
e
.
b) O vértice é .
c) É uma parábola côncava para baixo, vértice em , zeros em
e
e intercepto
em
.
d) .
e) Crescente em e decrescente em
.
f) para
ou
;
em
;
para
.
b) O vértice é
c) É uma parábola côncava para baixo, vértice em
d)
e) Crescente em
f)