(GV - SP) O lucro de uma empresa é dado por L(x)=100(10-x)(x-2), onde x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que:
a) O lucro é positivo, qualquer que seja x.
b) O lucro é positivo para x maior do que 10 .
c) O lucro é positivo para x entre 2 e 10 .
d) O lucro é máximo para x igual a 10.
e) O lucro é máximo para x igual a 3 .

Passo 1

O enunciado dá o lucro como
L(x)=100,(10 - x),(x - 2)
onde x é a quantidade vendida. Queremos saber para que valores de x o lucro é positivo e onde ele atinge seu máximo. Esse é um problema de estudo de sinal e de vértice de uma função quadrática.

Passo 2

Para estudar onde L(x) é positivo, observamos os zeros de
(10 - x)(x - 2)=0
que ocorrem em x=10 e x=2. Como o coeficiente de x^2 em L(x) (ao expandir) é negativo, a parábola é voltada para baixo e o produto (10 - x)(x - 2) é
– positivo entre as raízes, isto é, quando 2 < x < 10,
– nulo em x=2 e x=10,
– negativo fora desse intervalo.

Passo 3

Para achar onde L(x) atinge o valor máximo, note que ao expandir temos
L(x) = 100l(-x^2 + 12x - 20r) = -100x^2 +1200x -2000,
cujo vértice está em
xvértice = -b2a = -12002cdot(-100) = 6 é
Logo o lucro máximo ocorre em x=6, não em x=3 nem em x=10.

Passo 4

Concluímos que o lucro é positivo exatamente quando
2 < x < 10,
e atinge seu valor máximo em x=6. Entre as opções dadas, a que coincide com essa conclusão é a letra (c).

Resposta

(c) O lucro é positivo para x entre 2 e 10.

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