Calcule os valores e vetores próprios, e os autoespaços das seguintes matrizes
[cc-2 & -2 -5 & 1]

Passo 1

O enunciado pede determina\c{c}~ao dos valores pr’oprios, dos vetores pr’oprios e dos autoespa\c{c}os da matriz
A = -2 & -2 [6pt] -5 & 1
O conte’udo envolve c’alculo do polin’omio caracter’istico e solu\c{c}~ao de sistemas lineares homog^eneos para cada valor pr’oprio.]

Passo 2

Para encontrar os valores pr’oprios calculamos o determinante
det(A - lambda I) = det-2-lambda & -2 [4pt] -5 & 1-lambda = (-2-lambda)(1-lambda) - (-2)(-5)
Expandindo,
(-2-lambda)(1-lambda) = lambda^2 + lambda -2,
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det(A - lambda I) = lambda^2 + lambda -2 -10 = lambda^2 + lambda -12
Resolvendo lambda^2 + lambda -12=0 obtemos
lambda = -1 pm raiz1+482 = -1 pm 72,
ou seja
lambda1 = 3, lambda2 = -4 ]

Passo 3

Para lambda1 = 3 resolvemos (A - 3I)x = 0, isto 'e
-5 & -2 [4pt] -5 & -2 x [2pt] y = 0 [2pt] 0 ;Longrightarrow; -5x - 2y = 0 ;Longrightarrow; y = -52,x
Escolhendo x=2 fica um vetor pr’oprio
v1 = 2 [2pt] -5,
e o autoespa\c{c}o associado `e
E3 = ker(A - 3I) = spanl(2,-5)r ]

Passo 4

Para lambda2 = -4 resolvemos (A + 4I)x = 0, isto 'e
2 & -2 [4pt] -5 & 5 x [2pt] y = 0 ;Longrightarrow; 2x - 2y = 0 ;Longrightarrow; x = y
Tomando x=1 obtemos o vetor pr’oprio
v2 = 1 [2pt] 1,
e o autoespa\c{c}o correspondente `e
E-4 = ker(A + 4I) = spanl(1,1)r ]

Resposta

Os valores próprios são
lambda1 = 3 e lambda2 = -4.
Vetores próprios correspondentes:
para lambda1=3, v1 = (2,-5);
para lambda2=-4, v2 = (1,1).
Os autoespaços são
E3 = span(2,-5)
e
E-4 = span(1,1).

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