Calcule os valores e vetores próprios, e os autoespaços das seguintes matrizes
[ccc-10 & -71 & -19 3 & 34 & 9 -1 & -61 & -16]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores lambda, os autovetores v e os autoespaços da matriz
A = -10 & -71 & -19 3 & 34 & 9 -1 & -61 & -16
Para isso, vamos usar o método clássico: calcular o polinômio característico det(A-lambda I), encontrar suas raízes e, para cada lambda, resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Formamos
A - lambda I = -10-lambda & -71 & -19 3 & 34-lambda & 9 -1 & -61 & -16-lambda
e calculamos
det(A-lambda I) = lambda^3 -8lambda^2 +19lambda -12

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
lambda^3 -8lambda^2 +19lambda -12=0
Testando lambda=1 vemos que é raiz; fatorando obtemos
(lambda-1)(lambda^2 -7lambda +12)=0 Longrightarrow lambda1=1,;lambda2=3,;lambda3=4

Passo 4

Para resolvemos , isto é
Da segunda linha vem e da terceira linha vem .
Resolvendo o sistema, achamos
logo um autovetor é escolhido como

Passo 5

Para lambda=3 temos
(A-3I)= -13 & -71 & -19 3 & 31 & 9 -1 & -61 & -19 ,
cujo sistema dá
x=-tfrac56y, z=-tfrac196y
Escolhendo y=6 obtemos o autovetor
v2 =(-5,,6,,-19)

Passo 6

Para lambda=4 temos
(A-4I)= -14 & -71 & -19 3 & 30 & 9 -1 & -61 & -20 ,
e o sistema leva a
x=-y, z=-3y
Tomando y=1 obtemos
v3 =(-1,,1,,-3)

Resposta

lambda1=1, autoespaço E1=span(-2,7,-25)
lambda2=3, autoespaço E2=span(-5,6,-19)
lambda3=4, autoespaço E3=span(-1,1,-3)

Exercícios relacionados