Calcule os valores e vetores próprios, e os autoespaços das seguintes matrizes
[cc23 & 12 -42 & -22]

Passo 1

O enunciado nos fornece a matriz
A = 23 & 12 -42 & -22
O conteúdo é autovalores e autovetores de matrizes. Vamos resolver em três etapas: (i) achar o polinômio característico e os valores próprios lambda; (ii) para cada lambda, resolver (A-lambda I)v=0 e obter os vetores próprios; (iii) descrever os autoespaços correspondentes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I) = det23-lambda & 12 [6pt] -42 & -22-lambda = (23-lambda)(-22-lambda)-12cdot(-42)
Expandindo,
(23-lambda)(-22-lambda)=lambda^2-lambda-506, 12cdot(-42)=-504,
portanto
det(A-lambda I)=lambda^2-lambda-506+504=lambda^2-lambda-2
Assim o polinômio é lambda^2-lambda-2=0, cujas raízes são
lambda = 1pmraiz1+82 =1pm32,
logo lambda1=2 e lambda2=-1.
]

Passo 3

Para resolvemos
A primeira equação é , que simplifica para , ou seja . Tomando obtém-se o autovetor
O segundo linha é múltiplo da primeira, não gera equação nova.

Passo 4

Para resolvemos
A primeira equação é , ou , logo . Tomando obtém-se
A segunda linha não traz informação nova.

Resposta

lambda1 = 2, autovetor
v1 = 4-7,
autoespaço
E2 = ,t4-7mid tinR
lambda2 = -1, autovetor
v2 = 1-2,
autoespaço
E-1 = ,t1-2mid tinR

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