Calcule os valores e vetores próprios, e os autoespaços das seguintes matrizes
[lll5 & 4 & 2 4 & 5 & 2 2 & 2 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os autovalores, autovetores e autoespaços da matriz
A = 5 & 4 & 2 4 & 5 & 2 2 & 2 & 2
O conteúdo é autovalores e autovetores de matriz quadrada. Para resolver, vamos montar o polinômio característico det(A - lambda I)=0, achar suas raízes, e para cada lambda resolver (A - lambda I)x=0 para obter o autoespaço.

Passo 2

Calculemos o determinante de A - lambda I:
A - lambda I = 5 - lambda & 4 & 2 4 & 5 - lambda & 2 2 & 2 & 2 - lambda
Expandindo por Laplace na primeira linha,
det(A - lambda I) = (5-lambda)l((5-lambda)(2-lambda)-2cdot2r) -4l(4(2-lambda)-2cdot2r) +2l(4cdot2-(5-lambda),2r)
Fazendo as contas obtemos
det(A - lambda I) = lambda^3 -12lambda^2 +21lambda -10

Passo 3

Precisamos resolver
lambda^3 -12lambda^2 +21lambda -10 = 0
Testando raízes racionais, lambda=1 satisfaz:
1 -12 +21 -10 = 0
Dividindo o polinômio por lambda-1
lambda^3 -12lambda^2 +21lambda -10 = (lambda-1)(lambda^2 -11lambda +10)
Resolvendo lambda^2 -11lambda +10=0 obtemos
lambda = 11 pm raiz121 -402 = 11 pm 92,
logo lambda =10 ou lambda=1.
Portanto, os autovalores são lambda=10 (multiplicidade 1) e lambda=1 (multiplicidade 2).

Passo 4

Para , resolvemos
Da terceira linha vem
Substituindo nas outras equações obtém-se e . Assim
e o autoespaço é

Passo 5

Para , resolvemos
Todas as linhas são múltiplas, restando a equação
Logo
e o autoespaço é

Resposta

Os autovalores são
lambda1 = 10, lambda2 = 1 (mu<iplicidade 2)
Os autoespaços correspondentes são
E10 = span(2,2,1), E1 = span(1,0,-2),(0,1,-2)

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