Mostre que os valores próprios da matriz [cca & b -b & a], onde a e b são números reais, são a pm i b.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma matriz 2x2 com entradas que envolvem os números reais a e b. Queremos descobrir os valores próprios dessa matriz e mostrar que eles são a pm ib. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e equações características.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que são valores próprios. Para uma matriz A, um valor próprio lambda satisfaz a equação:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade. Essa equação é chamada de equação característica e é fundamental para encontrar os valores próprios.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa matriz:
A = a & b -b & a
Subtraindo lambda I de A, temos:
A - lambda I = a - lambda & b -b & a - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (a - lambda)(a - lambda) - (b)(-b)
Simplificando:
det(A - lambda I) = (a - lambda)^2 + b^2

Passo 4

Para encontrar os valores próprios, igualamos o determinante a zero:
(a - lambda)^2 + b^2 = 0
Resolvendo para lambda:
(a - lambda)^2 = -b^2
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
a - lambda = pm ib
Isolando lambda:
lambda = a pm ib

Resposta

Os valores próprios da matriz são a + ib e a - ib.

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