Considere os seguintes vetores V1=(-1,-1,0,2), V2=(-2,-4,2,6) e V3=(1,3,-2,-4).
Entre os vetores V4=(3,1,2,-4), V5=(-2,-1,-1,3) e V6=(-4,-3,-2,-2), quais são combinação linear de V1, V2 e V3? Para os que são combinação linear de V1, V2 e V3 escreva a combinação linear.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^4,
V1=(-1,-1,0,2), V2=(-2,-4,2,6), V3=(1,3,-2,-4),
e nos pede para verificar, entre
V4=(3,1,2,-4), V5=(-2,-1,-1,3), V6=(-4,-3,-2,-2),
quais pertencem ao espaço gerado por V1,V2,V3. Para cada candidato montamos o sistema
a,V1+b,V2+c,V3=Vj,
e checamos se há solução (a,b,c).

Passo 2

Análise de V4. Montamos o sistema
-a - 2b + c = 3
-a - 4b + 3c = 1
2b - 2c = 2
2a + 6b - 4c = -4
Da terceira equação vem
b - c = 1Longrightarrow b = c + 1
Substituindo nas demais obtemos
a + c = -5
sem contradição. Há infinitas soluções; escolhemos c=0, logo a=-5 e b=1. Assim
V4 = -5,V1 + 1,V2

Passo 3

Análise de V5. Montamos
-a - 2b + c = -2
-a - 4b + 3c = -1
2b - 2c = -1
2a + 6b - 4c = 3
Da terceira equação vem
b - c = -tfrac12Longrightarrow b = c - tfrac12
Substituindo nas outras, obtemos
a + c = 3
sem contradição. Tomando c=0 para simplificar, fica a=3 e b=-tfrac12. Portanto
V5 = 3,V1 - tfrac12,V2

Passo 4

Análise de V6. O sistema é
-a - 2b + c = -4
-a - 4b + 3c = -3
2b - 2c = -2
2a + 6b - 4c = -2
Da terceira equação vem b = c -1. Substituindo nas duas primeiras obtemos
a + c = 6 e a + c = 7,
contradição. Logo não há solução e V6 não está no espaço gerado por V1,V2,V3.

Resposta

V4 e V5 são combinações lineares de V1,V2,V3, com
V4 = -5,V1 + V2, V5 = 3,V1 - tfrac12,V2
V6 não é combinação linear de V1,V2,V3.

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