Calcule os valores de y e de z sabendo que o ponto P(-3, y, z) pertence à reta determinada pelos pontos A(1,-2,3) e B(0,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores de y e z sabendo que o ponto P(-3, y, z) está na reta que passa pelos pontos A(1, -2, 3) e B(0, 2, 0) . A matéria envolvida aqui é geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente sobre equações paramétricas de retas. Vamos precisar entender como encontrar a equação da reta a partir de dois pontos e depois usar essa equação para achar y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta que passa pelos pontos A e B . Para isso, calculamos o vetor diretor da reta, que é a diferença entre as coordenadas de B e A :
AB = B - A = (0 - 1, 2 - (-2), 0 - 3) = (-1, 4, -3)

Passo 3

Com o vetor diretor AB = (-1, 4, -3) , podemos escrever as equações paramétricas da reta. Se usarmos t como o parâmetro, as equações ficam:
x = xA + t cdot De<a x = 1 + t cdot (-1) = 1 - t
y = yA + t cdot De<a y = -2 + t cdot 4 = -2 + 4t
z = zA + t cdot De<a z = 3 + t cdot (-3) = 3 - 3t

Passo 4

Sabemos que o ponto P(-3, y, z) está na reta, então as coordenadas de P devem satisfazer as equações paramétricas da reta. Vamos igualar a coordenada x :
-3 = 1 - t
Resolvendo para t :
t = 1 - (-3) = 4

Passo 5

Agora que encontramos t = 4 , vamos substituir esse valor nas equações de y e z para encontrar as coordenadas desejadas.
Para y :
y = -2 + 4t = -2 + 4 cdot 4 = -2 + 16 = 14
Para z :
z = 3 - 3t = 3 - 3 cdot 4 = 3 - 12 = -9

Resposta

Os valores são y = 14 e z = -9 .

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