Considerando os pontos e , estabeleça as equações reduzidas da reta suporte da mediana do triângulo relativa ao lado .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem os pontos , e formando um triângulo . A tarefa é encontrar as equações reduzidas da reta que é a mediana do triângulo em relação ao lado .
O que é uma mediana?
Uma mediana de um triângulo é uma reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Então, a mediana relativa ao lado vai ligar o ponto ao ponto médio de .
O que precisamos fazer?
Encontrar o ponto médio do lado .
Determinar a equação da reta que passa por e .
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto médio do segmento . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos e é:
Aplicando os valores:
Então, o ponto médio tem coordenadas .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos e .
Primeiro, vamos achar os vetores de posição desses pontos:
O vetor diretor da reta CM é a diferença entre M e C :
d = M - C = 2 - 0 1 - 1 2.5 - 0 = 2 0 2.5
Passo 4
Com o ponto C(0,1,0) e o vetor diretor d = 2 0 2.5 , podemos escrever a equação paramétrica da reta CM :
x = 0 + 2t y = 1 + 0t z = 0 + 2.5t
Simplificando:
x = 2t y = 1 z = 2.5t
Passo 5
Para escrever as equações reduzidas da reta, isolamos o parâmetro t nas equações paramétricas:
t = x2, t = z2.5
Igualando os dois:
x2 = z2.5
Podemos reescrever isso como:
x2 = z52 implies x2 = 2z5
Multiplicando ambos os lados por 10 para eliminar os denominadores:
5x = 4z implies z = 54x
E como y = 1 , a equação reduzida da reta é:
x2 = z2.5 e y = 1
Resposta
As equações reduzidas da reta que é a mediana do triângulo ABC relativa ao lado AB são: