Considerando os pontos A(1,2,3), B(3,0,2) e C(0,1,0), estabeleça as equações reduzidas da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado AB.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem os pontos A(1,2,3) , B(3,0,2) e C(0,1,0) formando um triângulo ABC . A tarefa é encontrar as equações reduzidas da reta que é a mediana do triângulo em relação ao lado AB .
O que é uma mediana?
Uma mediana de um triângulo é uma reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Então, a mediana relativa ao lado AB vai ligar o ponto C ao ponto médio de AB .
O que precisamos fazer?
  1. Encontrar o ponto médio M do lado AB .
  2. Determinar a equação da reta que passa por C e M .
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto médio M do segmento AB . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB) é:
M( xA + xB2,, yA + yB2,, zA + zB2 )
Aplicando os valores:
M( 1 + 32,, 2 + 02,, 3 + 22 ) = M( 2,, 1,, 2.5 )
Então, o ponto médio M tem coordenadas (2, 1, 2.5) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos C(0,1,0) e M(2,1,2.5) .
Primeiro, vamos achar os vetores de posição desses pontos:
C = 0 1 0 , M = 2 1 2.5
O vetor diretor da reta CM é a diferença entre M e C :
d = M - C = 2 - 0 1 - 1 2.5 - 0 = 2 0 2.5

Passo 4

Com o ponto C(0,1,0) e o vetor diretor d = 2 0 2.5 , podemos escrever a equação paramétrica da reta CM :
x = 0 + 2t y = 1 + 0t z = 0 + 2.5t
Simplificando:
x = 2t y = 1 z = 2.5t

Passo 5

Para escrever as equações reduzidas da reta, isolamos o parâmetro t nas equações paramétricas:
t = x2, t = z2.5
Igualando os dois:
x2 = z2.5
Podemos reescrever isso como:
x2 = z52 implies x2 = 2z5
Multiplicando ambos os lados por 10 para eliminar os denominadores:
5x = 4z implies z = 54x
E como y = 1 , a equação reduzida da reta é:
x2 = z2.5 e y = 1

Resposta

As equações reduzidas da reta que é a mediana do triângulo ABC relativa ao lado AB são:
x2 = z2.5 e y = 1

Exercícios relacionados