Determine a reta que:
Passa pelo ponto B(1,1,-2) e é simultaneamente ortogonal ao eixo das ordenadas e ao vetor v=(1,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma reta que passa pelo ponto B(1,1,-2) e que é, ao mesmo tempo, ortogonal ao eixo das ordenadas (que é o eixo y ) e ao vetor v = (1,2,1) . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser representada por uma equação paramétrica:
r(t) = r0 + t cdot d
onde r0 é um ponto pela qual a reta passa (no caso, B(1,1,-2) ) e d é o vetor diretor da reta.

Passo 3

Como a reta precisa ser ortogonal ao eixo das ordenadas, vamos identificar o vetor diretor do eixo y . O eixo y tem direção j = (0,1,0) . Para que a nossa reta seja ortogonal a esse eixo, o vetor diretor d da reta deve ser ortogonal a j .

Passo 4

Duas vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
d cdot j = 0
Seja d = (dx, dy, dz) , então:
0 cdot dx + 1 cdot dy + 0 cdot dz = 0 implies dy = 0
Portanto, o componente y do vetor diretor d é zero.

Passo 5

Agora, a reta também precisa ser ortogonal ao vetor v = (1,2,1) . Novamente, usamos o produto escalar:
d cdot v = 0
Substituindo:
1 cdot dx + 2 cdot dy + 1 cdot dz = 0
Sabemos que dy = 0 , então:
dx + dz = 0 implies dz = -dx

Passo 6

Agora temos as condições para o vetor diretor d :
d = (dx, 0, -dx)
Podemos escolher dx = 1 para simplificar, então:
d = (1, 0, -1)

Passo 7

Com o ponto B(1,1,-2) e o vetor diretor d = (1,0,-1) , a equação paramétrica da reta fica:
r(t) = (1,1,-2) + t cdot (1,0,-1)
Ou separadamente:
x = 1 + t
y = 1
z = -2 - t

Resposta

A reta buscada é dada por:
r(t) = (1,1,-2) + t cdot (1,0,-1)
ou, em forma paramétrica:
x = 1 + t, y = 1, z = -2 - t

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