Calcule a variação da energia de Gibbs e da energia de Gibbs molar de 1 \mathrm{dm}^{3} de octano quando a pressão que atua sobre ele aumenta de 1 atm até 100 atm . A massa específica e molar do octano são, respectivamente, 0,703 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} e 114,23 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}. Dica: o número de mols do octano pode ser obtido a partir da sua massa específica. \mathbf{R}: \mathbf{1 0 ~ k J} ; \mathbf{1 , 6 ~ k J ~ m o l}{ }^{\mathbf{- 1}}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a variação da energia de Gibbs total e a variação da energia de Gibbs molar de 1\\ \mathrm{dm}^{3} de octano quando a pressão aumenta de 1\\ \mathrm{atm} para 100\\ \mathrm{atm}. Dados fornecidos:
  • Volume do líquido: V_{\text{tot}} = 1\\ \mathrm{dm}^{3} = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Pressões iniciais e finais: P_1 = 1\\ \mathrm{atm}, P_2 = 100\\ \mathrm{atm}.
  • Massa específica (densidade) do octano: \rho = 0{,}703\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
  • Massa molar do octano: M = 114{,}23\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
As perguntas concretas são:
  1. Qual é a variação da energia de Gibbs total, \Delta G, do volume dado de octano quando a pressão aumenta de P_1 para P_2?
  2. Qual é a variação da energia de Gibbs por mol (ou molar), \Delta \bar{G}, correspondente a essa transferência?

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta): a variação infinitesimal da energia de Gibbs G a temperatura constante satisfaz
\mathrm{d}G = V\,\mathrm{d}P,
onde V é o volume do sistema (no caso, do líquido) e \mathrm{d}P é a variação da pressão. Explicando: em condições isotérmicas e para um sistema fechado, a mudança de G com a pressão é dada pelo volume — isto vem da relação termodinâmica fundamental para G. Se o volume for aproximadamente constante (líquidos são pouco compressíveis), integra-se facilmente:
\Delta G = \int_{P_1}^{P_2} V\,\mathrm{d}P = V\,(P_2-P_1).
Aqui cada símbolo significa:
  • \Delta G: variação total da energia de Gibbs do sistema (J),
  • V: volume do sistema (m³), assumido constante,
  • P_1,P_2: pressões inicial e final (Pa).
Para obter a variação molar usamos
\Delta \bar{G}=\frac{\Delta G}{n},
onde n é o número de mols presentes.

Passo 3

Calcular o número de mols n do octano a partir da massa específica (a dica do enunciado). Primeiro obter a massa do volume dado:
\text{massa} = \rho \times V_{\text{tot}}.
Converter \rho para unidades compatíveis com V_{\text{tot}} em \mathrm{m}^{3}. Sabendo que 1\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}=1000\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}, temos
\rho = 0{,}703\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}} = 703\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
Mas é mais simples usar massa em gramas diretamente: V_{\text{tot}} = 1{,}0\\ \mathrm{dm}^{3} = 1000\\ \mathrm{cm}^{3}. Logo a massa em gramas é
m = \rho\\ (\mathrm{g\\ cm^{-3}})\times V_{\text{tot}}\\ (\mathrm{cm^{3}}) = 0{,}703\times1000 = 703\\ \mathrm{g}.
Agora o número de mols é
n=\frac{m}{M}=\frac{703\\ \mathrm{g}}{114{,}23\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}=6{,}1543\\ \mathrm{mol}\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular a variação de pressão em unidades SI ( \mathrm{Pa}). Usar 1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Então
\Delta P = P_2-P_1 = (100-1)\\ \mathrm{atm} = 99\\ \mathrm{atm}.
Convertendo:
\Delta P = 99\times1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} = 1{,}0031175\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular a variação total da energia de Gibbs usando \Delta G = V_{\text{tot}}\,\Delta P. Com V_{\text{tot}}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} e \Delta P do passo anterior:
\Delta G = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}\times1{,}0031175\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}=1{,}0031175\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
Em quilojoules:
\Delta G \approx 1{,}003\times10^{4}\\ \mathrm{J}=10{,}03\\ \mathrm{kJ}.
Comentário didático: tratar o líquido como incompressível (volume constante) é apropriado aqui porque a variação de pressão é grande em atm, mas líquidos mudam pouco de volume; o resultado numérico coincide com a resposta-sugestão de 10\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Calcular a variação molar \Delta \bar{G}:
\Delta \bar{G}=\frac{\Delta G}{n}=\frac{1{,}0031175\times10^{4}\\ \mathrm{J}}{6{,}1543\\ \mathrm{mol}}=1{,}6298\times10^{3}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Em quilojoules por mol:
\Delta \bar{G}\approx1{,}630\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
Isso também bate com a resposta-sugerida de aproximadamente 1{,}6\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.

Passo 7

Verificação rápida de ordens de grandeza e unidades: usamos V em \mathrm{m^{3}} e \Delta P em \mathrm{Pa} (N m^{-2}), então \Delta G ficou em J, coerente. O número de mols foi obtido dividindo massa (g) por massa molar (g mol^{-1}), método direto e seguro em prova. Assunção principal: volume praticamente constante (compressibilidade desprezível) — em problemas de prova é aceito para líquidos.

Resposta

\Delta G \approx 10{,}03\\ \mathrm{kJ}
\Delta \bar{G} \approx 1{,}63\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}

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