Duas partículas são mantidas fixas em um eixo x. A partícula 1 , de carga 40 \mu \mathrm{C}, está situada em x=-2,0 cm; a partícula 2 , de carga Q, está situada em x=3,0 \mathrm{~cm}. A partícula 3 está inicialmente no eixo y e é liberada, a partir do repouso, no ponto y=2,0 \mathrm{~cm}. O valor absoluto da carga da partícula 3 é 20 \mu \mathrm{C}. Determine o valor de Q para que a aceleração inicial da partícula 3 seja (a) no
sentido positivo do eixo x e (b) no sentido positivo do eixo y.

Passo 1

O enunciado coloca duas cargas fixas no eixo x:
  • q_1=40 \muC em x=-2{,}0,cm
  • Q em x=3{,}0,cm
    e uma terceira carga de módulo \lvert q_3\rvert=20 \muC inicialmente em (0,2{,}0,cm). Solicitam os valores de Q tais que a aceleração inicial de q_3 aponte (a) no sentido positivo de x e (b) no sentido positivo de y.
    Para resolver, vamos usar a Lei de Coulomb em forma vetorial e decompor a força resultante em componentes x e y. Como a aceleração \vec a é colinear a \vec F, basta impor condições sobre as componentes de \vec F.

Passo 2

Denotemos por \vec r_1 o vetor de q_1 até q_3 e por \vec r_2 o vetor de q_2 até q_3. Em cm:
\vec r_1=(0-(-2),\,2-0)=(2,2),\quad r_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,
\vec r_2=(0-3,\,2-0)=(-3,2),\quad r_2=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13}.
A força total sobre q_3 é
\vec F = k\,q_3\!\biggl(\frac{q_1\,\vec r_1}{r_1^3}+\frac{Q\,\vec r_2}{r_2^3}\biggr).
Como k e q_3 são fatores comuns, para determinar a direção podemos trabalhar com
\vec S=\frac{q_1\,\vec r_1}{r_1^3}+\frac{Q\,\vec r_2}{r_2^3}
e impor condições às suas componentes S_x,S_y. Calculamos primeiro cada termo:
\frac{\vec r_1}{r_1^3} =\frac{(2,2)}{(2\sqrt2)^3} =\frac{(2,2)}{16\sqrt2} =\bigl(\tfrac1{8\sqrt2},\tfrac1{8\sqrt2}\bigr),
\frac{\vec r_2}{r_2^3} =\frac{(-3,2)}{(\sqrt{13})^3} =\frac{(-3,2)}{13\sqrt{13}} =\bigl(-\tfrac{3}{13\sqrt{13}},\;\tfrac{2}{13\sqrt{13}}\bigr).
Logo
\vec S =\Bigl(q_1\cdot\tfrac1{8\sqrt2}\;+\;Q\cdot\bigl(-\tfrac{3}{13\sqrt{13}}\bigr),\; q_1\cdot\tfrac1{8\sqrt2}\;+\;Q\cdot\tfrac{2}{13\sqrt{13}}\Bigr),
substituindo q_1=40\times10^{-6},C.

Passo 3

Para que \vec F (e \vec a) fique no sentido positivo de x precisamos de
  1. componente y nula:
S_y =\frac{40\times10^{-6}}{8\sqrt2} +\;Q\;\frac{2}{13\sqrt{13}} =0 \;\Longrightarrow\; Q =-\frac{40\times10^{-6}}{8\sqrt2}\;\frac{13\sqrt{13}}{2}.
Fazendo a conta:
Q =-\frac{40\times10^{-6}\times13\sqrt{13}}{16\sqrt2} \approx-8{,}29\times10^{-5}\,\text{C} =-82{,}9\;\mu\text{C}.
  1. componente x positiva: com esse Q verifica-se S_x>0, confirmando a condição.

Passo 4

Para que \vec a aponte no sentido positivo de y precisamos de
  1. x-componente nula:
S_x =\frac{40\times10^{-6}}{8\sqrt2} +\;Q\;\Bigl(-\frac{3}{13\sqrt{13}}\Bigr) =0 \;\Longrightarrow\; Q =\frac{40\times10^{-6}}{8\sqrt2}\;\frac{13\sqrt{13}}{3}.
  1. y-componente positiva: com este Q obtém-se S_y>0. Calculando:
Q =\frac{40\times10^{-6}\times13\sqrt{13}}{24\sqrt2} \approx5{,}53\times10^{-5}\,\text{C} =55{,}3\;\mu\text{C}.

Resposta

(a) Q\approx -82{,}9 \muC
(b) Q\approx 55{,}3 \muC

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