Calcule a velocidade que um corpo abandonado a uma distância r do centro da Terra terá quando atingir a superficie da mesma.

Passo 1

O enunciado diz que um corpo parte do repouso à distância r do centro da Terra (cujo raio é R e massa M) e cai livremente até a superfície. O conteúdo é conservação da energia mecânica em campo gravitacional, usando energia potencial gravitacional \displaystyle U(r)=-\tfrac{GMm}{r} e energia cinética \displaystyle K=\tfrac12mv^2.

Passo 2

Escrevemos a energia mecânica inicial E_i na posição de partida ( r):
E_i = U_i + K_i = -\frac{GMm}{r} + 0.

Passo 3

Escrevemos a energia mecânica final E_f ao atingir a superfície ( R):
E_f = U_f + K_f = -\frac{GMm}{R} + \frac12\,m\,v^2.

Passo 4

Como não há perda de energia, impomos E_i = E_f e isolamos v:
-\frac{GMm}{r} \;=\; -\frac{GMm}{R} + \frac12\,m\,v^2
\frac12\,m\,v^2 = GMm\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\Bigr)
v^2 = 2GM\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\Bigr)
v = \sqrt{2GM\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\Bigr)}.

Resposta

v = \sqrt{2\,G\,M\Bigl(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\Bigr)}.

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