Encontre a entropia de um gás ideal por meio da contagem de microestados de Boltzmann.
Passo 1
O enunciado pede a entropia
de um gás ideal monoatômico de
partículas, volume
e energia total
, usando a definição de Boltzmann
onde
é o número de microestados a energia
(microcanônico). Vamos precisar formular
como integral em espaço de fase e depois usar aproximações de Stirling.
Passo 2
Escrevemos o número de microestados como integral em espaço de fase, dividindo por
para indistinguibilidade e por
(células de volume
):
Como a coordenada espacial varia livremente em um volume
,
.
Passo 3
Focar na integral em momentos. Em coordenadas esféricas de
:
Logo
Passo 4
Aplicamos
e aproximamos para
usando
Então
Passo 5
Substituindo as aproximações de Stirling:
Agrupando termos dá
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Para escrever em termos de temperatura
, usamos
. Então
e finalmente
que é a famosa fórmula de Sackur–Tetrode.