Encontre a entropia de um gás ideal por meio da contagem de microestados de Boltzmann.

Passo 1

O enunciado pede a entropia S de um gás ideal monoatômico de N partículas, volume V e energia total E, usando a definição de Boltzmann
S = k\,\ln \Omega(E,N,V),
onde \Omega é o número de microestados a energia E (microcanônico). Vamos precisar formular \Omega como integral em espaço de fase e depois usar aproximações de Stirling.

Passo 2

Escrevemos o número de microestados como integral em espaço de fase, dividindo por N! para indistinguibilidade e por h^{3N} (células de volume h^{3}):
\Omega(E,N,V) =\frac{1}{N!\,h^{3N}} \int d^{3N}q\,d^{3N}p\;\delta\Bigl(E-\sum_{i=1}^{N}\frac{\mathbf p_i^2}{2m}\Bigr).
Como a coordenada espacial varia livremente em um volume V,
\int d^{3N}q=V^N.

Passo 3

Focar na integral em momentos. Em coordenadas esféricas de \mathbb R^{3N}:
\int d^{3N}p\;\delta\Bigl(E-\sum\frac{\mathbf p_i^2}{2m}\Bigr) =\frac{(2\pi m E)^{\frac{3N}{2}}}{\Gamma\bigl(\tfrac{3N}{2}\bigr)}.
Logo
\Omega(E,N,V) =\frac{V^N}{N!\,h^{3N}}\; \frac{(2\pi m E)^{\frac{3N}{2}}}{\Gamma\bigl(\tfrac{3N}{2}\bigr)}.

Passo 4

Aplicamos S=k\ln\Omega e aproximamos para N\gg1 usando
\ln N!\approx N\ln N - N, \qquad \ln\Gamma\Bigl(\tfrac{3N}{2}\Bigr)\approx \tfrac{3N}{2}\ln\Bigl(\tfrac{3N}{2}\Bigr)-\tfrac{3N}{2}.
Então
\ln\Omega =N\ln V-\ln N! -3N\ln h + \tfrac{3N}{2}\ln(2\pi m E)-\ln\Gamma\bigl(\tfrac{3N}{2}\bigr).

Passo 5

Substituindo as aproximações de Stirling:
\ln\Omega = N\ln V - (N\ln N - N) -3N\ln h + \tfrac{3N}{2}\ln(2\pi m E) - \Bigl(\tfrac{3N}{2}\ln\tfrac{3N}{2}-\tfrac{3N}{2}\Bigr).
Agrupando termos dá
\ln\Omega = N\Bigl[\ln\frac{V}{N} + \tfrac{3}{2}\ln\frac{2\pi m E}{3N h^2} + \tfrac{5}{2}\Bigr].
Multiplicando por k obtemos
S = kN\Bigl[\ln\frac{V}{N} + \tfrac{3}{2}\ln\frac{2\pi m E}{3N h^2} + \tfrac{5}{2}\Bigr].

Passo 6

Para escrever em termos de temperatura T, usamos E=\tfrac{3}{2}NkT. Então
\frac{2\pi m E}{3N h^2} =\frac{2\pi m kT}{h^2},
e finalmente
S = kN\Bigl[\ln\Bigl(\frac{V}{N}\bigl(\tfrac{2\pi m kT}{h^2}\bigr)^{\tfrac{3}{2}}\Bigr) + \tfrac{5}{2}\Bigr],
que é a famosa fórmula de Sackur–Tetrode.

Resposta

S = kN\Biggl[\ln\!\Bigl(\frac{V}{N}\bigl(\tfrac{2\pi m kT}{h^2}\bigr)^{\tfrac{3}{2}}\Bigr)+\frac{5}{2}\Biggr].

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