Considere a superposiçăo de dois movimentos harmônicos simples de mesma frequência e direçöes perpendiculares. Determine o movimento resultante e a polarizaçăo resultante quando a) a diferença de fase é igual a \pi b) a diferença de fase é igual a \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para superpor dois movimentos harmônicos simples de mesma frequência \omega, um ao longo do eixo x e outro ao longo do eixo y, e determinar o movimento resultante e a polarização para duas diferenças de fase:
a) \delta=\pi
b) \delta=\pi/2
O conteúdo envolvido é o estudo de Lissajous e polarização resultante de dois SHM ortogonais.

Passo 2

Denotemos as componentes do movimento assim:
x(t)=A\cos(\omega t),
y(t)=B\cos\bigl(\omega t+\delta\bigr),
onde A e B são as amplitudes nos eixos x e y, e \delta é a diferença de fase entre elas.

Passo 3

Para obter a forma da trajetória, usamos a relação trigonométrica
\cos(\omega t+\delta)=\cos\omega t\cos\delta - \sin\omega t\sin\delta.
Isolando \cos\omega t e \sin\omega t em função de x e y e eliminando o parâmetro t, chega-se à equação geral da elipse (Lissajous):
\biggl(\frac{x}{A}\biggr)^{2} + \biggl(\frac{y}{B}\biggr)^{2} - 2\,\frac{x}{A}\,\frac{y}{B}\cos\delta = \sin^{2}\delta.

Passo 4

Caso a) \delta=\pi.
Então \cos\delta=\cos\pi=-1 e \sin\delta=0. A componente y fica
y(t)=B\cos(\omega t+\pi) =-B\cos\omega t.
Logo existe relação linear entre x e y:
y=-\frac{B}{A}\,x.
Isso significa que a trajetória é uma linha reta e a onda resultante é polarizada linearmente ao longo do ângulo \theta tal que \tan\theta=-B/A.

Passo 5

Caso b) \delta=\pi/2.
Aqui \cos\delta=0 e \sin\delta=1. A equação da Lissajous simplifica para
\biggl(\frac{x}{A}\biggr)^{2} + \biggl(\frac{y}{B}\biggr)^{2} =1,
que é a equação de uma elipse cujos eixos principais coincidem com x e y. Portanto a onda resultante é polarizada elipticamente.
No caso especial em que A=B, essa elipse torna-se um círculo, e a polarização é circular.

Resposta

a) A trajetória é uma reta y=-(B/A)x; polarização linear.
b) A trajetória é uma elipse \bigl(x/A\bigr)^{2}+(y/B\bigr)^{2}=1; polarização elíptica (circular se A=B).

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