Calcule a velocidade escalar média e o módulo da velocidade média nos seguintes casos.
Você percorre uma distância de 73,2 \mathrm{~m} a uma velocidade de 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} numa pista retilínea e, depois corre nesta mesma pista, 73,2 \mathrm{~m} a uma velocidade de 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido contrário.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a velocidade escalar média e (b) o módulo da velocidade média, no seguinte movimento. As informações dadas são:
\text{distância 1: } s_1 = 73,2\\ \mathrm{m}â
\text{velocidade durante 1: } v_1 = 1,2\\ \mathrm{m/s}
\text{distância 2: } s_2 = 73,2\\ \mathrm{m}â
\text{velocidade durante 2: } v_2 = 3,0\\ \mathrm{m/s}
A segunda corrida é “no sentido contrário” à primeira, ou seja, as duas distâncias têm sinais opostos quando for calcular deslocamento (mas para distância total usamos valores positivos). Neste problema temos de calcular:
  • a velocidade escalar média: razão entre a distância total percorrida e o tempo total;
  • o módulo da velocidade média (magnitude da velocidade média vetorial): razão entre o deslocamento vetorial total e o tempo total.

Passo 2

Vou lembrar e explicar as fórmulas básicas que vamos usar (calma, é simples):
  • Velocidade escalar média \bar{v}_{\text{esc}} é definida por
\bar{v}_{\text{esc}} = \frac{\text{distância total percorrida}}{\text{tempo total}}.â
Aqui “distância total” é a soma dos comprimentos percorridos, sempre positiva.
  • Velocidade média vetorial \vec{\bar{v}} é definida por
\vec{\bar{v}} = \frac{\text{deslocamento}}{\text{tempo total}}.
O deslocamento é uma grandeza vetorial (leva em conta direção e sentido). O módulo da velocidade média é
\bigl|\vec{\bar{v}}\bigr| = \frac{|\text{deslocamento}|}{\text{tempo total}}.
Em palavras: velocidade escalar média conta todo o caminho andado; velocidade média vetorial conta só a mudança de posição (deslocamento).

Passo 3

Vamos determinar o deslocamento vetorial total. Escolho um eixo retilíneo e tomo o sentido da primeira corrida como positivo. Assim:
\text{deslocamento 1: } \Delta x_1 = +73,2\\ \mathrm{m}
\text{deslocamento 2: } \Delta x_2 = -73,2\\ \mathrm{m}\quad(\text{porque é no sentido contrário})éá
Logo o deslocamento total é
\Delta x_{\text{total}} = \Delta x_1 + \Delta x_2 = 73,2 + (-73,2) = 0\\ \mathrm{m}.
Isso já nos dá uma pista importante: o deslocamento total é zero (você voltou ao ponto inicial).

Passo 4

Calcular os tempos gastos em cada trecho usando t = \dfrac{s}{v}.
Para o primeiro trecho:
t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{73,2}{1,2}.
Fazendo a conta: 1,2 = \dfrac{6}{5}, então \dfrac{73,2}{1,2} = 73,2\cdot\dfrac{5}{6} = 61,0\\ \mathrm{s}.
Para o segundo trecho:
t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{73,2}{3,0} = 24,4\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo total é
t_{\text{total}} = t_1 + t_2 = 61,0 + 24,4 = 85,4\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular a distância total percorrida (valor absoluto das distâncias somadas):
\text{distância total} = s_1 + s_2 = 73,2 + 73,2 = 146,4\\ \mathrm{m}.â

Passo 6

Agora calculamos a velocidade escalar média usando a fórmula do Passo 2:
\bar{v}_{\text{esc}} = \frac{\text{distância total}}{t_{\text{total}}} = \frac{146,4}{85,4}.â
Podemos simplificar de forma exata: escrevendo em fator comum 146,4 = 2\cdot73,2 e 85,4 = 73,2\bigl(\tfrac{1}{1,2}+\tfrac{1}{3}\bigr). Mas há um caminho ainda mais simples: note que
\frac{146,4}{85,4}=\frac{2\cdot73,2}{73,2\left(\tfrac{1}{1,2}+\tfrac{1}{3}\right)}=\frac{2}{\tfrac{1}{1,2}+\tfrac{1}{3}}.
Calcule os recíprocos: \tfrac{1}{1,2}=\tfrac{5}{6} e \tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}. Então
\tfrac{1}{1,2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{6}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{6}+\tfrac{2}{6}=\tfrac{7}{6}.
Logo
\bar{v}_{\text{esc}}=\frac{2}{7/6}=\frac{12}{7}\\ \mathrm{m/s}.
Em forma decimal,
\bar{v}_{\text{esc}}\approx 1,714\\ \mathrm{m/s}.
(Usei a fração exata \tfrac{12}{7} para mostrar o resultado exato, e a aproximação decimal para um valor prático.)

Passo 7

Agora o módulo da velocidade média. Do Passo 3 vimos que o deslocamento total é \Delta x_{\text{total}}=0\\ \mathrm{m}. Assim a velocidade média vetorial é
\vec{\bar{v}}=\frac{\Delta x_{\text{total}}}{t_{\text{total}}}=\frac{0}{85,4}=0\\ \mathrm{m/s},
e portanto o módulo é
\bigl|\vec{\bar{v}}\bigr|=0\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: embora você tenha corrido uma distância total, você voltou ao ponto de partida, então a mudança de posição é nula e a velocidade média vetorial é zero.

Passo 8

Resumo prático e dica para prova: quando o enunciado pede “velocidade escalar média” pense em distância total sobre tempo total (sempre positiva). Quando pede “velocidade média” ou seu módulo, pense em deslocamento (com sinal/direção) sobre tempo total. Se o deslocamento for zero, a velocidade média é zero mesmo que a distância percorrida seja grande — esse é um truque comum em questões.

Resposta

\bar{v}_{\text{esc}} = \dfrac{12}{7}\\ \mathrm{m/s} \approx 1,714\\ \mathrm{m/s}
\bigl|\vec{\bar{v}}\bigr| = 0\\ \mathrm{m/s}

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