Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int(\frac{1}{x^{2}}+5 x^{4}) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{1}{x^{2}} + 5x^{4}\Bigr)\,dx
usando a regra da potência para integrar cada termo do tipo x^{n}. Em seguida, vamos verificar o resultado fazendo a derivação.

Passo 2

Integramos cada parcela separadamente.
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
\int 5x^{4}\,dx = 5 \int x^{4}\,dx = 5 \cdot \frac{x^{5}}{5} = x^{5}.
Somando e acrescentando a constante de integração C, obtemos
-x^{-1} + x^{5} + C.

Passo 3

Agora vamos verificar derivando o resultado:
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-1} + x^{5} + C\bigr) = -\bigl(-1\bigr)x^{-2} + 5x^{4} + 0 = x^{-2} + 5x^{4} = \frac{1}{x^{2}} + 5x^{4},
que coincide com o integrando original.

Resposta

-x^{-1} + x^{5} + C.

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