Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int \frac{x+1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+1}{x}\,dx
e depois verificar o resultado por derivação. Para resolver, vamos usar a decomposição de frações e as integrais básicas de 1 e de 1/x.

Passo 2

Decompondo o integrando em termos mais simples, temos
\frac{x+1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}.

Passo 3

Integramos cada parcela separadamente:
\int 1\,dx = x
e
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 4

Somando os dois resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos
x + \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Para verificar, derivamos a expressão encontrada:
\frac{d}{dx}\bigl(x + \ln\lvert x\rvert + C\bigr) = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x},
que é exatamente o integrando original.

Resposta

x + \ln\lvert x\rvert + C

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