Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int \frac{x+x{2}}{x{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int \frac{x+x^{2}}{x^{2}}\,dx
e verificar o resultado por derivação. O conteúdo é integração de função racional, e vamos precisar simplificar o integrando para aplicar as regras de potência.

Passo 2

Simplificamos o integrando escrevendo cada termo separadamente:
\frac{x + x^{2}}{x^{2}} = \frac{x}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} = x^{-1} + 1.

Passo 3

Integramos termo a termo usando \displaystyle \int x^{-1}dx = \ln\lvert x\rvert e \displaystyle \int 1\,dx = x:
\int \bigl(x^{-1} + 1\bigr)\,dx = \ln\lvert x\rvert + x + C.

Passo 4

Verificamos por derivação se obtivemos o integrando original:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln\lvert x\rvert + x + C\bigr) = \frac{1}{x} + 1 = x^{-1} + 1 = \frac{x + x^{2}}{x^{2}}.
Como a derivada coincide com o integrando, a resposta está correta.

Resposta

\ln\lvert x\rvert + x + C

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