Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int \frac{2 x^{2}-6 x{4}-x{7}}{x^{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{2x^{2}-6x^{4}-x^{7}}{x^{5}}\,dx
e depois verificar o resultado por derivação. O conteúdo envolve simplificar o integrando dividindo monômios, usar a regra da potência \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1) e a regra do logaritmo para \displaystyle\int x^{-1}\,dx=\ln|x|.

Passo 2

Vamos simplificar o integrando dividindo cada termo por x^{5}:
\frac{2x^{2}}{x^{5}}=2x^{-3},\quad \frac{-6x^{4}}{x^{5}}=-6x^{-1},\quad \frac{-x^{7}}{x^{5}}=-x^{2}.
Logo
\frac{2x^{2}-6x^{4}-x^{7}}{x^{5}} = 2x^{-3} -6x^{-1} - x^{2}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
- Para 2x^{-3}:
\int 2x^{-3}\,dx =2\cdot\frac{x^{-2}}{-2} =-x^{-2}.
- Para -6x^{-1}:
\int -6x^{-1}\,dx =-6\ln|x|.
- Para -x^{2}:
\int -x^{2}\,dx =-\frac{x^{3}}{3}.
Somando e incluindo a constante C, obtemos
F(x)=-\frac{1}{x^{2}} -6\ln|x| - \frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 4

Agora verificamos derivando F(x) (desprezando C):
F'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(-x^{-2}\Bigr) +\frac{d}{dx}\Bigl(-6\ln|x|\Bigr) +\frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr).
Calculando cada derivada: \displaystyle\frac{d}{dx}(-x^{-2})=2x^{-3}, \displaystyle\frac{d}{dx}(-6\ln|x|)=-\frac{6}{x}, \displaystyle\frac{d}{dx}(-\tfrac{x^{3}}{3})=-x^{2}.
Somando,
F'(x)=2x^{-3}-6x^{-1}-x^{2} =\frac{2x^{2}-6x^{4}-x^{7}}{x^{5}},
que é exatamente o integrando original. A verificação está correta.

Resposta

-\frac{1}{x^{2}} \;-\;6\ln|x|\;-\;\frac{x^{3}}{3}\;+\;C.

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