Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int\left(x^{2}+\frac{3}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\Bigl(x^{2}+\frac{3}{x}\Bigr)\,dx
e depois verificar o resultado por derivação. O conteúdo envolvido é antiderivação usando as regras de potências \int x^{n}dx e de \int x^{-1}dx.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
\int\Bigl(x^{2}+\frac{3}{x}\Bigr)\,dx =\int x^{2}\,dx \;+\;3\int \frac{1}{x}\,dx.
Sabemos que para n\neq -1 vale
\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1},
e que
\int \frac{1}{x}dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 3

Aplicando as fórmulas:
\int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3}, \quad 3\int \frac{1}{x}dx = 3\,\ln\lvert x\rvert.
Assim, uma antiderivada geral é
F(x) = \frac{x^{3}}{3} \;+\; 3\,\ln\lvert x\rvert \;+\; C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para verificar, derivamos F(x):
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{x^{3}}{3}\Bigr)=x^{2}, \quad \frac{d}{dx}\!\bigl(3\ln\lvert x\rvert\bigr) =3\cdot\frac{1}{x}.
Somando,
F'(x)=x^{2}+\frac{3}{x},
que coincide com o integrando original.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} \;+\; 3\,\ln\lvert x\rvert \;+\; C.

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