Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
onde
O conteúdo aqui é aplicar o método de Duhamel (ou convolução com a resposta ao impulso) para a equação
com condições iniciais nulas.
Passo 2
Para
com
, a solução por convolução é
Este é o núcleo. Agora, basta avaliar explicitamente essa integral em cada região de
.
Passo 3
Para
temos
em toda a integração. Logo
Fazendo a mudança
ou usando integrações por partes, obtém-se
Portanto, para
,
Passo 4
Para
particionamos a integral em
e
:
Cada parte pode ser calculada usando identidade
e tabelas de integrais. O resultado final simplifica-se para
Passo 5
Para
a força
é nula para
, então
Calcula-se que
e
. Portanto, para
,
Resposta
Para a solução escalar
temos