Encontre a solução do problema de valor inicial
\text { em que } \boldsymbol{u}^{\prime \prime}+\boldsymbol{u}=\boldsymbol{F}(\boldsymbol{t}) \quad \boldsymbol{u}(\mathbf{0})=\mathbf{0} \quad \boldsymbol{u}^{\prime}(\mathbf{0})=\mathbf{0}
F(t)=\left\{\begin{array}{lr} F_{0} t, & 0 \leq t \leq \pi \\\ F_{0}(2 \pi-t), & \pi<t \leq 2 \pi \\\\ 0, & 2 \pi<t \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\mathbf{u}''(t)+\mathbf{u}(t)=F(t),\quad \mathbf{u}(0)=\mathbf{0},\quad \mathbf{u}'(0)=\mathbf{0},
onde
F(t)= \begin{cases} F_{0}\,t,&0\le t\le\pi,\\\ F_{0}\,(2\pi-t),&\pi<t\le2\pi,\\\\ 0,&t>2\pi. \end{cases}
O conteúdo aqui é aplicar o método de Duhamel (ou convolução com a resposta ao impulso) para a equação u''+u=F(t) com condições iniciais nulas.

Passo 2

Para u''+u=F(t) com u(0)=u'(0)=0, a solução por convolução é
u(t)=\int_{0}^{t}\sin\bigl(t-s\bigr)\,F(s)\,\mathrm{d}s.
Este é o núcleo. Agora, basta avaliar explicitamente essa integral em cada região de t.

Passo 3

Para 0\le t\le\pi temos F(s)=F_{0}\,s em toda a integração. Logo
u(t) =F_{0}\int_{0}^{t}s\,\sin(t-s)\,\mathrm{d}s.
Fazendo a mudança \tau=t-s ou usando integrações por partes, obtém-se
\int_{0}^{t}s\sin(t-s)\,\mathrm{d}s =t-\sin t.
Portanto, para 0\le t\le\pi,
u(t)=F_{0}\bigl(t-\sin t\bigr).

Passo 4

Para \pi<t\le2\pi particionamos a integral em [0,\pi] e [\pi,t]:
u(t) =F_{0}\int_{0}^{\pi}s\,\sin(t-s)\,\mathrm{d}s +F_{0}\int_{\pi}^{t}(2\pi-s)\,\sin(t-s)\,\mathrm{d}s.
Cada parte pode ser calculada usando identidade \sin(t-s)=\sin t\cos s-\cos t\sin s e tabelas de integrais. O resultado final simplifica-se para
u(t)=F_{0}\bigl(2\pi - t - \sin t\bigr), \quad \pi<t\le2\pi.

Passo 5

Para t>2\pi a força F(s) é nula para s>2\pi, então
u(t) =\int_{0}^{2\pi}\sin(t-s)\,F(s)\,\mathrm{d}s =\sin t\int_{0}^{2\pi}F(s)\cos s\,\mathrm{d}s -\cos t\int_{0}^{2\pi}F(s)\sin s\,\mathrm{d}s.
Calcula-se que \int_{0}^{2\pi}F(s)\cos s\,\mathrm{d}s=-2F_{0} e \int_{0}^{2\pi}F(s)\sin s\,\mathrm{d}s=0. Portanto, para t>2\pi,
u(t)=-2F_{0}\,\sin t.

Resposta

Para a solução escalar u(t) temos
u(t)= \begin{cases} F_{0}\bigl(t-\sin t\bigr),&0\le t\le\pi,\\[6pt] F_{0}\bigl(2\pi - t - \sin t\bigr),&\pi<t\le2\pi,\\[6pt] -2F_{0}\,\sin t,&t>2\pi. \end{cases}]

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