Se \vec{u}=3 i-j-2 k, \vec{v}=2 i+4 j-k e \vec{w}=-i+k. Determine:
\vec{w} \times \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u, \vec v e \vec w em \mathbb{R}^3 e pede o produto vetorial \vec w\times\vec v. Esse é um tópico de Álgebra Vetorial e vamos usar a definição por componentes, que se baseia em determinantes.

Passo 2

Anotamos as coordenadas de cada vetor: \vec w=(w_1,w_2,w_3)=(-1,0,1) \vec v=(v_1,v_2,v_3)=(2,4,-1)
O produto \vec a=\vec w\times\vec v tem componentes
a_x = w_2\,v_3 - w_3\,v_2,\quad a_y = w_3\,v_1 - w_1\,v_3,\quad a_z = w_1\,v_2 - w_2\,v_1.

Passo 3

Substituindo os valores de w_i e v_i:
a_x = (0)\cdot(-1) - (1)\cdot(4) = -4
a_y = (1)\cdot2 - (-1)\cdot(-1) = 2 - 1 = 1
a_z = (-1)\cdot4 - (0)\cdot2 = -4

Passo 4

Portanto, as componentes do vetor \vec w\times\vec v são
a_x = -4,\quad a_y = 1,\quad a_z = -4.

Resposta

\vec w \times \vec v = -4\,\mathbf{i} \;+\;\mathbf{j}\;-\;4\,\mathbf{k}.

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