Determine se o vértice das funções abaixo representa um máximo ou um mínimo:
f(x)=x^{2}+5 x+6

Passo 1

O enunciado pede: determinar se o vértice da função f(x)=x^{2}+5x+6 representa um máximo ou um mínimo.
Informações dadas:
  • A função é um polinômio quadrático da forma f(x)=ax^{2}+bx+c com coeficientes extraídos do enunciado: a=1,\; b=5,\; c=6.

Passo 2

Entendendo o que é o vértice e como ele se comporta.
  • Uma parábola definida por f(x)=ax^{2}+bx+c tem um ponto especial chamado vértice; é o ponto mais baixo ou o mais alto da parábola.
  • O sinal de a determina se a parábola “abre para cima” ou “abre para baixo”:
    • Se a>0, a parábola abre para cima e o vértice é um mínimo (o menor valor de f).
    • Se a<0, a parábola abre para baixo e o vértice é um máximo (o maior valor de f).
  • Portanto, saber o sinal de a já nos dá a resposta qualitativa sobre máximo ou mínimo. Aqui a=1>0, então a princípio esperamos um mínimo. Vamos confirmar encontrando o vértice explicitamente (útil para a prova).

Passo 3

Como achar o vértice de forma algébrica (completar o quadrado).
Considere a forma geral f(x)=ax^{2}+bx+c com a\neq0. Fazendo a fatoração de a e completando o quadrado obtemos:
f(x)=a\!\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c
x^{2}+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}
Substituindo de volta:
f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c.
Dessa forma fica explícito que o termo quadrático a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} é sempre não negativo quando a>0, e o mínimo ocorre em x=-\dfrac{b}{2a}. Ou seja, o vértice tem abscissa
x_{v}=-\frac{b}{2a}.
Obs.: essa derivação também explica por que a fórmula x_{v}=-\dfrac{b}{2a} vale sempre; é a coordenada que zera o quadrado completado.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso a=1,\;b=5.
Calcule a abscissa do vértice:
x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2\cdot1}=-\frac{5}{2}.

Passo 5

Encontrando a ordenada do vértice (o valor mínimo).
Usando a expressão já obtida para o termo constante do quadrado completado, a ordenada vale
y_{v}=c-\frac{b^{2}}{4a}.
Substituindo os valores:
y_{v}=6-\frac{5^{2}}{4\cdot1}=6-\frac{25}{4}=\frac{24}{4}-\frac{25}{4}=-\frac{1}{4}.
Ou calculando diretamente f\!\left(-\frac{5}{2}\right) obtém-se o mesmo valor -\dfrac{1}{4}.
Portanto o vértice é o ponto \left(-\dfrac{5}{2},-\dfrac{1}{4}\right).

Passo 6

Conclusão sobre máximo ou mínimo e interpretação final.
Como a=1>0, a parábola abre para cima; isso implica que o vértice é um ponto de mínimo. O menor valor que f assume é -\dfrac{1}{4}, atingido em x=-\dfrac{5}{2}.
Força aí — na prova, basta olhar o sinal de a para decidir rápido e, se pedirem a coordenada, usar x_{v}=-\dfrac{b}{2a} e y_{v}=c-\dfrac{b^{2}}{4a}.

Resposta

mínimo

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