Determine se o vértice das funções abaixo representa um máximo ou um mínimo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar se o vértice da função
representa um máximo ou um mínimo.
Informações dadas:
- A função é um polinômio quadrático da forma
com coeficientes extraídos do enunciado:
Passo 2
Entendendo o que é o vértice e como ele se comporta.
- Uma parábola definida por
tem um ponto especial chamado vértice; é o ponto mais baixo ou o mais alto da parábola. - O sinal de
determina se a parábola “abre para cima” ou “abre para baixo”: - Se
, a parábola abre para cima e o vértice é um mínimo (o menor valor de ). - Se
, a parábola abre para baixo e o vértice é um máximo (o maior valor de ).
- Se
- Portanto, saber o sinal de
já nos dá a resposta qualitativa sobre máximo ou mínimo. Aqui , então a princípio esperamos um mínimo. Vamos confirmar encontrando o vértice explicitamente (útil para a prova).
Passo 3
Como achar o vértice de forma algébrica (completar o quadrado).
Considere a forma geral
com
. Fazendo a fatoração de
e completando o quadrado obtemos:
Substituindo de volta:
Dessa forma fica explícito que o termo quadrático
é sempre não negativo quando
, e o mínimo ocorre em
. Ou seja, o vértice tem abscissa
Obs.: essa derivação também explica por que a fórmula
vale sempre; é a coordenada que zera o quadrado completado.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso
.
Calcule a abscissa do vértice:
Passo 5
Encontrando a ordenada do vértice (o valor mínimo).
Usando a expressão já obtida para o termo constante do quadrado completado, a ordenada vale
Substituindo os valores:
Ou calculando diretamente
obtém-se o mesmo valor
.
Portanto o vértice é o ponto
Passo 6
Conclusão sobre máximo ou mínimo e interpretação final.
Como
, a parábola abre para cima; isso implica que o vértice é um ponto de mínimo. O menor valor que
assume é
, atingido em
.
Força aí — na prova, basta olhar o sinal de
para decidir rápido e, se pedirem a coordenada, usar
e
.
Resposta
mínimo