Calcule o x do vértice das funções quadráticas a seguir, na sequência determine o ponto onde a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo:
f(x)=x^{2}-6 x+8

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=x^{2}-6x+8 e pede duas coisas:
  • Calcular o x do vértice da parábola (ou seja, a coordenada x onde a parábola atinge extremo).
  • Determinar o ponto onde a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo (ou seja, o ponto vértice (x_v,y_v) e se é máximo ou mínimo).
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes da função quadrática: a (coeficiente de x^{2}), b (coeficiente de x) e c (termo constante).
  • Na função dada, a=1, b=-6, c=8.

Passo 2

Fórmula prática para a coordenada x do vértice: x_v=-\dfrac{b}{2a}.
Explicação didática dessa fórmula:
  • Uma parábola f(x)=ax^{2}+bx+c tem simetria em torno da reta vertical que passa pelo seu vértice; essa reta é chamada de eixo da parábola.
  • O valor x_v do vértice é o ponto médio das raízes da parábola (quando existem) ou, de forma geral, obtém-se derivando f e igualando a zero: f'(x)=2ax+b. O extremo ocorre quando f'(x)=0, logo 2ax+b=0\Rightarrow x=-\dfrac{b}{2a}.
  • Aqui, cada símbolo significa: a é o coeficiente de x^{2}, b é o coeficiente de x, e x_v é a abscissa do vértice.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os coeficientes dados:
x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=\dfrac{6}{2}=3.
Portanto a coordenada x do vértice é \,3.

Passo 4

Agora calculo o valor da função em x_v para obter a ordenada do vértice y_v:
f(3)=3^{2}-6\cdot 3+8=9-18+8=-1.
Logo o ponto vértice é (3,-1).

Passo 5

Determinar se é máximo ou mínimo:
  • O sinal de a diz a abertura da parábola: se a>0, a parábola abre para cima e o vértice é um ponto de mínimo; se a<0, abre para baixo e o vértice é um ponto de máximo.
  • Aqui a=1>0, portanto a parábola abre para cima e o vértice (3,-1) é um ponto de mínimo (valor mínimo da função).

Passo 6

Forma alternativa (completar o quadrado) — útil na prova para entender de outro jeito:
f(x)=x^{2}-6x+8=(x^{2}-6x+9)+8-9=(x-3)^{2}-1.
Dessa forma fica claro que (x-3)^{2}\ge 0 para todo x, então o menor valor possível de f é -1 quando x=3, confirmando o vértice (3,-1) como mínimo.

Resposta

x do vértice: 3
Ponto onde a parábola atinge o valor mínimo: (3,-1)

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