Em \mathcal{M}_{2 \times 2} escreva a matriz \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 1 & 2\end{array}\right] em termos da base
\left\{\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 0 & 4 \end{array}\right]\right\} .

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a matriz
\left[\begin{array}{cc} 2 & 3\\[4pt] 1 & 2 \end{array}\right]
como combinação linear (ou seja, em termos) da base formada pelas quatro matrizes
B_1=\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{array}\right],\quad B_2=\left[\begin{array}{cc}2 & 0\\[4pt]3 & 1\end{array}\right],\quad B_3=\left[\begin{array}{cc}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{array}\right],\quad B_4=\left[\begin{array}{cc}0 & -2\\[4pt]0 & 4\end{array}\right].
Ou seja, preciso achar escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
\alpha B_1+\beta B_2+\gamma B_3+\delta B_4 = \left[\begin{array}{cc} 2 & 3\\[4pt] 1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 2

O que significa escrever a matriz em termos da base? Significa encontrar coeficientes \alpha,\beta,\gamma,\delta (números reais) tais que a combinação linear dê a matriz alvo. Vou chamar os coeficientes de \alpha,\beta,\gamma,\delta e montar a combinação linear explicitamente:
\alpha\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{array}\right] +\beta\left[\begin{array}{cc}2 & 0\\[4pt]3 & 1\end{array}\right] +\gamma\left[\begin{array}{cc}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{array}\right] +\delta\left[\begin{array}{cc}0 & -2\\[4pt]0 & 4\end{array}\right].
Para resolver, eu vou igualar cada entrada (posição) dessa soma com a entrada correspondente da matriz pretendida. Isso gera um sistema linear para \alpha,\beta,\gamma,\delta. Essa é a técnica padrão: em 2\times2 há 4 entradas, logo 4 equações para 4 incógnitas.]

Passo 3

Calculo a soma entrada a entrada e escrevo as quatro equações. Somando as matrizes por entradas obtemos:
  • entrada (1,1): \alpha\cdot1+\beta\cdot2+\gamma\cdot0+\delta\cdot0=\alpha+2\beta.
    Logo
\alpha+2\beta=2. \tag{1}
  • entrada (1,2): \alpha\cdot1+\beta\cdot0+\gamma\cdot1+\delta\cdot(-2)=\alpha+\gamma-2\delta.
    Logo
\alpha+\gamma-2\delta=3. \tag{2}
  • entrada (2,1): \alpha\cdot(-1)+\beta\cdot3+\gamma\cdot(-1)+\delta\cdot0=-\alpha+3\beta-\gamma.
    Logo
-\alpha+3\beta-\gamma=1. \tag{3}
  • entrada (2,2): \alpha\cdot0+\beta\cdot1+\gamma\cdot0+\delta\cdot4=\beta+4\delta.
    Logo
\beta+4\delta=2. \tag{4}
Agora resolvo o sistema (1)-(4).

Passo 4

Começo por usar (4) para expressar \beta em função de \delta:
\beta=2-4\delta. \tag{5}
Uso (1) para expressar \alpha em função de \beta:
\alpha=2-2\beta. \tag{6}
Substituo (5) em (6) para escrever \alpha em função de \delta:
\alpha=2-2(2-4\delta)=2-4+8\delta=-2+8\delta. \tag{7}

Passo 5

Uso (2) para expressar \gamma em função de \alpha e \delta:
\gamma=3-\alpha+2\delta. \tag{8}
Substituo (7) em (8):
\gamma=3-(-2+8\delta)+2\delta=3+2-8\delta+2\delta=5-6\delta. \tag{9}

Passo 6

Agora substituo \alpha, \beta, \gamma (em função de \delta) na equação (3) para determinar \delta. Lembrete das expressões:
\alpha=-2+8\delta,\quad \beta=2-4\delta,\quad \gamma=5-6\delta.
Plugando em (3): -\alpha+3\beta-\gamma=1. Calculo passo a passo:
-\alpha= -(-2+8\delta)=2-8\delta,
3\beta=3(2-4\delta)=6-12\delta,
-\gamma=-(5-6\delta)=-5+6\delta.
Somando:
(2-8\delta)+(6-12\delta)+(-5+6\delta)= (2+6-5)+(-8-12+6)\delta = 3-14\delta.
Igualando a 1:
3-14\delta=1 \quad\Longrightarrow\quad -14\delta=-2 \quad\Longrightarrow\quad \delta=\frac{1}{7}.

Passo 7

Com \delta=\dfrac{1}{7} volto às expressões anteriores para achar \beta,\alpha,\gamma.
Calculo \beta usando (5):
\beta=2-4\delta=2-4\cdot\frac{1}{7}=2-\frac{4}{7}=\frac{14-4}{7}=\frac{10}{7}.
Calculo \alpha usando (7):
\alpha=-2+8\delta=-2+8\cdot\frac{1}{7}=-2+\frac{8}{7}=\frac{-14+8}{7}=-\frac{6}{7}.
Calculo \gamma usando (9):
\gamma=5-6\delta=5-6\cdot\frac{1}{7}=5-\frac{6}{7}=\frac{35-6}{7}=\frac{29}{7}.
Portanto os coeficientes são
\alpha=-\frac{6}{7},\quad \beta=\frac{10}{7},\quad \gamma=\frac{29}{7},\quad \delta=\frac{1}{7}.

Passo 8

Verificação rápida (só para ficar tranquilo): monto a combinação com esses coeficientes e somo entrada a entrada (operação direta). Por exemplo entrada (1,1): \alpha+2\beta=-\tfrac{6}{7}+2\cdot\tfrac{10}{7}=\tfrac{-6+20}{7}=\tfrac{14}{7}=2. As demais entradas conferem de modo análogo, então a combinação gera exatamente a matriz alvo.

Resposta

\left[\begin{array}{cc}2 & 3\\[4pt]1 & 2\end{array}\right] = -\frac{6}{7}\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{array}\right] +\frac{10}{7}\left[\begin{array}{cc}2 & 0\\[4pt]3 & 1\end{array}\right] +\frac{29}{7}\left[\begin{array}{cc}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{array}\right] +\frac{1}{7}\left[\begin{array}{cc}0 & -2\\[4pt]0 & 4\end{array}\right].]

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