O que significa escrever a matriz em termos da base? Significa encontrar coeficientes \alpha,\beta,\gamma,\delta (números reais) tais que a combinação linear dê a matriz alvo. Vou chamar os coeficientes de \alpha,\beta,\gamma,\delta e montar a combinação linear explicitamente:
Para resolver, eu vou igualar cada entrada (posição) dessa soma com a entrada correspondente da matriz pretendida. Isso gera um sistema linear para \alpha,\beta,\gamma,\delta. Essa é a técnica padrão: em 2\times2 há 4 entradas, logo 4 equações para 4 incógnitas.]
Passo 3
Calculo a soma entrada a entrada e escrevo as quatro equações. Somando as matrizes por entradas obtemos:
entrada (1,1): \alpha\cdot1+\beta\cdot2+\gamma\cdot0+\delta\cdot0=\alpha+2\beta.
Logo
\alpha+2\beta=2. \tag{1}
entrada (1,2): \alpha\cdot1+\beta\cdot0+\gamma\cdot1+\delta\cdot(-2)=\alpha+\gamma-2\delta.
Logo
\alpha+\gamma-2\delta=3. \tag{2}
entrada (2,1): \alpha\cdot(-1)+\beta\cdot3+\gamma\cdot(-1)+\delta\cdot0=-\alpha+3\beta-\gamma.
Logo
-\alpha+3\beta-\gamma=1. \tag{3}
entrada (2,2): \alpha\cdot0+\beta\cdot1+\gamma\cdot0+\delta\cdot4=\beta+4\delta.
Logo
\beta+4\delta=2. \tag{4}
Agora resolvo o sistema (1)-(4).
Passo 4
Começo por usar (4) para expressar \beta em função de \delta:
\beta=2-4\delta. \tag{5}
Uso (1) para expressar \alpha em função de \beta:
\alpha=2-2\beta. \tag{6}
Substituo (5) em (6) para escrever \alpha em função de \delta:
Verificação rápida (só para ficar tranquilo): monto a combinação com esses coeficientes e somo entrada a entrada (operação direta). Por exemplo entrada (1,1): \alpha+2\beta=-\tfrac{6}{7}+2\cdot\tfrac{10}{7}=\tfrac{-6+20}{7}=\tfrac{14}{7}=2. As demais entradas conferem de modo análogo, então a combinação gera exatamente a matriz alvo.