Escreva
em termos da base:
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva o vetor
como combinação linear dos vetores da base
Informações dadas:
e o vetor genérico a ser escrito é
.]
Passo 2
O que significa “escrever em termos da base”: quero encontrar escalares
tais que
Essa igualação gera um sistema linear nas incógnitas
. Escrevendo as componentes:
Isto equivale ao sistema (compondo linha a linha):
Passo 3
Vou resolver o sistema por eliminação (Gaussian elimination). Escrevo a matriz aumentada com ordem das equações como acima:
Para simplificar, troco a linha 1 com a linha 2 (para ter um pivô
no topo):
Passo 4
Elimino as entradas abaixo do pivô da primeira coluna:
-
, -
.
Calculando:
A matriz fica
Passo 5
Elimino a entrada
na linha 3 usando a linha 2. Faço
Calculemos a nova linha 3 componente a componente:
- Segunda coluna:
(certo). - Terceira coluna:
- Lado direito:
Multiplicando a linha inteira por para ficar sem frações, obtemos a equação equivalente
Passo 6
Da equação obtida no Passo 5 temos diretamente
:
Passo 7
Agora volto à segunda linha (antes da multiplicação por
era
). Uso essa equação para achar
:
Substituo
encontrado:
Faço as contas no numerador:
Somando:
.
Logo
Logo
Passo 8
Finalmente obtenho
usando a primeira equação
:
Substituo
e
:
Então
No numerador:
Portanto
Portanto
Passo 9
Resumo das coordenadas (coeficientes da combinação linear):
Assim o vetor pedido pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base com esses coeficientes.