Escreva
\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} em termos da base:
\left\{\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 4 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -2 \\\\ -4\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva o vetor
\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{array}\right]\in\mathbb{R}^3
como combinação linear dos vetores da base
\left\{\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]1\\[4pt]3\end{array}\right],\;\left[\begin{array}{c}-1\\[4pt]4\\[4pt]5\end{array}\right],\;\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]-2\\[4pt]-4\end{array}\right]\right\}.
Informações dadas:
v_1=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]1\\[4pt]3\end{array}\right],\qquad v_2=\left[\begin{array}{c}-1\\[4pt]4\\[4pt]5\end{array}\right],\qquad v_3=\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]-2\\[4pt]-4\end{array}\right],
e o vetor genérico a ser escrito é \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{array}\right].]

Passo 2

O que significa “escrever em termos da base”: quero encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{array}\right].
Essa igualação gera um sistema linear nas incógnitas \alpha,\beta,\gamma. Escrevendo as componentes:
\alpha\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]1\\[4pt]3\end{array}\right] +\beta\left[\begin{array}{c}-1\\[4pt]4\\[4pt]5\end{array}\right] +\gamma\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]-2\\[4pt]-4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{array}\right].
Isto equivale ao sistema (compondo linha a linha):
\begin{cases} 2\alpha - \beta + 3\gamma = x,\\[4pt] \alpha + 4\beta -2\gamma = y,\\[4pt] 3\alpha +5\beta -4\gamma = z. \end{cases}]

Passo 3

Vou resolver o sistema por eliminação (Gaussian elimination). Escrevo a matriz aumentada com ordem das equações como acima:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & x\\[4pt] 1 & 4 & -2 & y\\[4pt] 3 & 5 & -4 & z \end{array}\right].
Para simplificar, troco a linha 1 com a linha 2 (para ter um pivô 1 no topo):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -2 & y\\[4pt] 2 & -1 & 3 & x\\[4pt] 3 & 5 & -4 & z \end{array}\right].]

Passo 4

Elimino as entradas abaixo do pivô da primeira coluna:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
    Calculando:
R_2: \;[2-2\cdot1,\; -1-2\cdot4,\; 3-2(-2),\; x-2y]=[0,\,-9,\;7,\;x-2y],
R_3: \;[3-3\cdot1,\; 5-3\cdot4,\; -4-3(-2),\; z-3y]=[0,\,-7,\;2,\;z-3y].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -2 & y\\[4pt] 0 & -9 & 7 & x-2y\\[4pt] 0 & -7 & 2 & z-3y \end{array}\right].]

Passo 5

Elimino a entrada -7 na linha 3 usando a linha 2. Faço
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{7}{9}R_2.
Calculemos a nova linha 3 componente a componente:
  • Segunda coluna: -7 - \frac{7}{9}(-9)= -7 +7 =0 (certo).
  • Terceira coluna: 2 - \frac{7}{9}\cdot 7 = 2 - \frac{49}{9} = \frac{18-49}{9} = -\frac{31}{9}.
  • Lado direito: (z-3y) - \frac{7}{9}(x-2y) = \frac{-7x -13y +9z}{9}.
    Multiplicando a linha inteira por 9 para ficar sem frações, obtemos a equação equivalente
0\cdot\alpha + 0\cdot\beta -31\gamma = -7x -13y +9z.

Passo 6

Da equação obtida no Passo 5 temos diretamente \gamma:
-31\gamma = -7x -13y +9z \quad\Rightarrow\quad \gamma = \frac{7x +13y -9z}{31}.

Passo 7

Agora volto à segunda linha (antes da multiplicação por 9 era -9\beta +7\gamma = x-2y). Uso essa equação para achar \beta:
-9\beta +7\gamma = x-2y \quad\Rightarrow\quad \beta = \frac{-\,(x-2y)+7\gamma}{9} = \frac{-x+2y+7\gamma}{9}.
Substituo \gamma encontrado:
\beta = \frac{-x+2y + 7\cdot\frac{7x+13y-9z}{31}}{9} = \frac{(-x+2y)\cdot 31 + 7(7x+13y-9z)}{9\cdot 31}.
Faço as contas no numerador:
(-x+2y)\cdot31 = -31x +62y,
7(7x+13y-9z) = 49x +91y -63z.
Somando: -31x+62y+49x+91y-63z = 18x +153y -63z.
Logo
\beta = \frac{18x +153y -63z}{9\cdot 31} = \frac{9(2x+17y-7z)}{9\cdot 31} = \frac{2x+17y-7z}{31}.

Passo 8

Finalmente obtenho \alpha usando a primeira equação \alpha +4\beta -2\gamma = y:
\alpha = y -4\beta +2\gamma.
Substituo \beta e \gamma:
4\beta = \frac{8x +68y -28z}{31},\qquad 2\gamma = \frac{14x +26y -18z}{31}.
Então
\alpha = y - \frac{8x +68y -28z}{31} + \frac{14x +26y -18z}{31} = \frac{31y + ( -8x-68y+28z) + (14x+26y-18z)}{31}.
No numerador: 31y -8x-68y+28z+14x+26y-18z = 6x -11y +10z.
Portanto
\alpha = \frac{6x -11y +10z}{31}.

Passo 9

Resumo das coordenadas (coeficientes da combinação linear):
\alpha = \frac{6x -11y +10z}{31},\qquad \beta = \frac{2x +17y -7z}{31},\qquad \gamma = \frac{7x +13y -9z}{31}.
Assim o vetor pedido pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base com esses coeficientes.

Resposta

\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{array}\right] = \frac{6x -11y +10z}{31}\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]1\\[4pt]3\end{array}\right] + \frac{2x +17y -7z}{31}\left[\begin{array}{c}-1\\[4pt]4\\[4pt]5\end{array}\right] + \frac{7x +13y -9z}{31}\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]-2\\[4pt]-4\end{array}\right]]

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