Sejam A=(-5,2,3) e B=(4,-7,-6) e C=(3,1,4).
(a) Escreva as equações vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa por A e B.
(b) Faça o mesmo para a reta que passa por B e C.
© Conclua que A, B, C são colineares.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos três pontos em R^3, A=(-5,2,3), B=(4,-7,-6) e C=(3,1,4). Precisamos achar as equações vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa por A e B, depois a mesma coisa para a reta que passa por B e C, e então verificar se os três pontos são colineares.

Passo 2

Para a reta que passa por A e B: primeiro calculamos o vetor diretor vec dAB=B-A=(4-(-5),,-7-2,,-6-3)=(9,-9,-9). A equação vetorial é
r = (-5,2,3) + t,(9,-9,-9), tin R
Daí a forma paramétrica: x=-5+9t, y=2-9t, z=3-9t. E a simétrica fica
x+59=y-2-9=z-3-9

Passo 3

Para a reta que passa por B e C: o vetor diretor é vec dBC=C-B=(3-4,,1-(-7),,4-(-6))=(-1,8,10). A equação vetorial é
r = (4,-7,-6) + s,(-1,8,10), sin R
Na forma paramétrica: x=4-s, y=-7+8s, z=-6+10s. Em simétrica:
x-4-1=y+78=z+610

Passo 4

Para concluir se A,B,C são colineares, comparamos os vetores diretores (9,-9,-9) e (-1,8,10). Eles não são múltiplos escalares um do outro (as razões entre componentes não coincidem), logo as duas retas são diferentes. Como a reta AB não coincide com a BC, o ponto C não está sobre a reta que passa por A e B. Portanto, os três pontos não estão sobre a mesma reta.

Resposta

Reta AB: vetorial r = (-5,2,3) + t(9,-9,-9), paramétrica x=-5+9t,;y=2-9t,;z=3-9t, simétrica (x+5)/9=(y-2)/(-9)=(z-3)/(-9). Reta BC: vetorial r=(4,-7,-6)+s(-1,8,10), paramétrica x=4-s,;y=-7+8s,;z=-6+10s, simétrica (x-4)/(-1)=(y+7)/8=(z+6)/10. Como os vetores diretores não são proporcionais, A,B,C não são colineares.

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