Calcule o vetor gradiente da função f(x,y) = y.ln x , no ponto (1,-3) e assinale a alternativa correta.

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é calcular o vetor gradiente da função $ f(x, y) = y \ln x $ no ponto $ (1, -3) $. O conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais que formam o gradiente. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função $ f(x, y) $ é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Matematicamente, é representado por:
f(x, y)
Isso nos dá a direção de maior aumento da função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A função é $ f(x, y) = y \ln x $. Tratando $ y $ como constante:
f
Isso porque a derivada de $ \ln x $ é $ \frac{1}{x} $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Novamente, a função é $ f(x, y) = y \ln x $. Tratando $ x $ como constante:
f
Porque a derivada de $ y $ é 1, e $ \ln x $ fica como está.

Passo 5

Então, o vetor gradiente de $ f $ é:
f
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto $ (1, -3) $.

Passo 6

Substituindo $ x = 1 $ e $ y = -3 $ na expressão do gradiente:
x = 1
y = -3
Lembre-se que $ \ln 1 = 0 $ porque $ e^0 = 1 $.

Resposta

O vetor gradiente da função $ f(x, y) = y \ln x $ no ponto $ (1, -3) $ é:
f(x, y) = y ln x

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