Duas esferas são concêntricas e a menor tem 9 cm de raio. A área da seção feita na esfera maior por um plano tangente à esfera menor é 144π cm². Calcule
a) A área e volume da esfera
b) As áreas das calotas esféricas.
a) A área e volume da esfera
b) As áreas das calotas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas esferas que têm o mesmo centro (são concêntricas). A menor tem um raio de 9 cm. Além disso, um plano tangente à esfera menor corta a esfera maior, formando uma seção com área de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria das esferas, como áreas e volumes, além de entender o que é uma calota esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o raio da esfera maior. Sabemos que a área da seção circular na esfera maior é
. A área de um círculo é dada por
, onde
é o raio. Aqui, o raio dessa seção é igual a
, onde
é o raio da esfera maior e
é a distância do centro ao plano, que é igual ao raio da esfera menor (9 cm).
Então:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos o raio da esfera maior (
), vamos calcular a área e o volume dessa esfera.
A área da esfera é dada por:
O volume da esfera é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as áreas das calotas esféricas formadas pelo plano na esfera maior. Uma calota esférica é a parte da esfera cortada por um plano. A área dessa calota é dada por:
onde
é a altura da calota, que é a diferença entre o raio da esfera maior e a distância do centro ao plano (
).
Aqui:
Então:
Resposta
a) A área da esfera maior é
e o volume é
.
b) A área de cada calota esférica é
.