Duas esferas são concêntricas e a menor tem 9 cm de raio. A área da seção feita na esfera maior por um plano tangente à esfera menor é 144π cm². Calcule
a) A área e volume da esfera
b) As áreas das calotas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas esferas que têm o mesmo centro (são concêntricas). A menor tem um raio de 9 cm. Além disso, um plano tangente à esfera menor corta a esfera maior, formando uma seção com área de 144pi , cm²². Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria das esferas, como áreas e volumes, além de entender o que é uma calota esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio da esfera maior. Sabemos que a área da seção circular na esfera maior é 144pi. A área de um círculo é dada por A = pi r²², onde r é o raio. Aqui, o raio dessa seção é igual a raizR² - d²²², onde R é o raio da esfera maior e d é a distância do centro ao plano, que é igual ao raio da esfera menor (9 cm).
Então:
pi (R² - 9²) = 144pi ²²
Simplificando:
R² - 81 = 144 implies R² = 225 implies R = 15 , cm ²²

Passo 3

Agora que temos o raio da esfera maior ( R = 15 , cm), vamos calcular a área e o volume dessa esfera.
A área da esfera é dada por:
A = 4pi R² = 4pi (15)² = 4pi times 225 = 900pi , cm² ²²²
O volume da esfera é:
V = 43pi R³ = 43pi (15)³ = 43pi times 3375 = 4500pi , cm³ ³³³

Passo 4

Agora, vamos calcular as áreas das calotas esféricas formadas pelo plano na esfera maior. Uma calota esférica é a parte da esfera cortada por um plano. A área dessa calota é dada por:
Acalota = 2pi R h
onde h é a altura da calota, que é a diferença entre o raio da esfera maior e a distância do centro ao plano ( h = R - d).
Aqui:
h = 15 , cm - 9 , cm = 6 , cm
Então:
Acalota = 2pi (15)(6) = 180pi , cm² ²

Resposta

a) A área da esfera maior é 900pi , cm²² e o volume é 4500pi , cm³³.
b) A área de cada calota esférica é 180pi , cm²².

Exercícios relacionados