Suponha que a procura de D de uma mercadoria é uma função linear do seu preço por unidade P. Quando o preço é R$10, a procura são 200 unidades e quando o preço é R$15, a procura são 150 unidades.
A: determine a função da procura?
B: que relação existe entre o preço e a procura?
C: determine o preço P para o qual a procura é nula.
D: construa o gráfico correspondente à situação?
A: determine a função da procura?
B: que relação existe entre o preço e a procura?
C: determine o preço P para o qual a procura é nula.
D: construa o gráfico correspondente à situação?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre função de demanda linear, que relaciona o preço de uma mercadoria com a quantidade que as pessoas estão dispostas a comprar. Para resolver as partes A, B, C e D, vamos precisar entender como essa relação funciona e usar um pouquinho de matemática básica. Vamos usar os dados fornecidos: quando o preço é R$10, a demanda é de 200 unidades, e quando o preço é R$15, a demanda cai para 150 unidades.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a função da demanda. Sabemos que a demanda $ D $ depende do preço $ P $ de forma linear, ou seja, $ D = mP + b $, onde $ m $ é a inclinação da reta e $ b $ é o ponto de interceptação no eixo das ordens (quando $ P = 0 $).
Para achar $ m $ e $ b $, usamos os dois pontos que temos: (10, 200) e (15, 150).
Passo 3
Vamos calcular a inclinação $ m $ da reta. A inclinação mostra como a demanda muda quando o preço muda. A fórmula para $ m $ entre dois pontos é:
Substituindo os valores:
Isso significa que para cada aumento de R$1 no preço, a demanda cai em 10 unidades.
Passo 4
Agora que temos $ m = -10 $, vamos encontrar $ b $, o valor de demanda quando o preço é zero. Usamos um dos pontos para isso. Vou usar (10, 200):
Então, a equação da demanda é:
Passo 5
Resposta da parte A: A função de demanda é $ D§ = -10P + 300 $.
Passo 6
Agora, vamos para a parte B: que relação existe entre o preço e a demanda?
Na nossa função $ D = -10P + 300 $, o coeficiente de $ P $ é -10, que é negativo. Isso indica que há uma relação inversa entre preço e demanda. Ou seja, quando o preço aumenta, a demanda diminui, e vice-versa.
Passo 7
Resposta da parte B: Existe uma relação inversa entre preço e demanda; quando o preço sobe, a demanda diminui.
Passo 8
Vamos para a parte C: determinar o preço $ P $ para o qual a demanda é nula. Queremos encontrar $ P $ tal que $ D = 0 $.
Usando a função $ D = -10P + 300 $:
Passo 9
Resposta da parte C: O preço para o qual a demanda é nula é R$30.
Passo 10
Por último, a parte D: construir o gráfico correspondente à situação.
Para isso, vamos plotar os pontos que temos e a função que encontramos:
- Ponto 1: (10, 200)
- Ponto 2: (15, 150)
- Além disso, sabemos que quando $ P = 0 $, $ D = 300 $ e quando $ P = 30 $, $ D = 0 $.
Vamos desenhar uma reta que passa por esses pontos, representando a função $ D = -10P + 300 $. O eixo horizontal será o preço $ P $ e o eixo vertical será a demanda $ D $.
Passo 11
Resposta da parte D: [Aqui você desenharia o gráfico com a reta $ D = -10P + 300 $, passando pelos pontos (0,300), (10,200), (15,150) e (30,0). O gráfico mostra uma linha reta decrescente, confirmando a relação inversa entre preço e demanda.]
Resposta
A função de demanda é $ D§ = -10P + 300 $. Existe uma relação inversa entre preço e demanda; quando o preço sobe, a demanda diminui. O preço para o qual a demanda é nula é R$30. O gráfico correspondente é uma linha reta decrescente que passa pelos pontos (0,300), (10,200), (15,150) e (30,0).