Qual a meia-vida de um isótopo radioativo, sabendo que em 344 dias sua massa radioativa se reduz de 120mg para 7,5?

Passo 1

Beleza, vamos descomplicar esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a meia-vida de um isótopo radioativo. A meia-vida é o tempo que leva para metade da quantidade de uma substância radioativa se decompor. No problema, a gente sabe que em 344 dias, a massa radioativa diminui de 120 mg para 7,5 mg. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do decaimento radioativo e algumas propriedades de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica do decaimento radioativo:
M(t) = M0 times (12)^tt1/2
Aqui:
  • $ M(t) $ é a massa restante após o tempo $ t $.
  • $ M_0 $ é a massa inicial.
  • $ t_{1/2} $ é a meia-vida que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
7,5 = 120 times (12)^344t1/2
Agora, vamos isolar a parte da potência para facilitar a resolução:
7,5120 = (12)^344t1/2
Simplificando a fração:
7,5120 = 116
Então:
116 = (12)^344t1/2

Passo 4

Sabemos que $ \frac{1}{16} $ pode ser escrito como $ \left(\frac{1}{2}\right)^4 $, porque:
116
Então, temos:
(12)^4
Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
(12)^4 = 12 times 12 times 12 times 12 = 116
Agora, isolando $ t_{1/2} $:
(12)^344t1/2 = (12)^4

Resposta

A meia-vida do isótopo radioativo é de 86 dias.

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