Qual a meia-vida de um isótopo radioativo, sabendo que em 344 dias sua massa radioativa se reduz de 120mg para 7,5?
Passo 1
Beleza, vamos descomplicar esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a meia-vida de um isótopo radioativo. A meia-vida é o tempo que leva para metade da quantidade de uma substância radioativa se decompor. No problema, a gente sabe que em 344 dias, a massa radioativa diminui de 120 mg para 7,5 mg. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do decaimento radioativo e algumas propriedades de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica do decaimento radioativo:
Aqui:
- $ M(t) $ é a massa restante após o tempo $ t $.
- $ M_0 $ é a massa inicial.
- $ t_{1/2} $ é a meia-vida que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Agora, vamos isolar a parte da potência para facilitar a resolução:
Simplificando a fração:
Então:
Passo 4
Sabemos que $ \frac{1}{16} $ pode ser escrito como $ \left(\frac{1}{2}\right)^4 $, porque:
Então, temos:
Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
Agora, isolando $ t_{1/2} $:
Resposta
A meia-vida do isótopo radioativo é de 86 dias.