Calcule o vetor gradiente no ponto
das funções abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o vetor gradiente da função
no ponto
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente de derivadas parciais e vetores gradientes. Para isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas suas derivadas parciais em relação a
e
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Como
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante, então:
Resposta
Portanto, o vetor gradiente da função
no ponto
é: