Calcule o vetor gradiente no ponto (x, y) das funções abaixo:
(a) f(x, y) = x^2 * y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o vetor gradiente da função no ponto . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente de derivadas parciais e vetores gradientes. Para isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas suas derivadas parciais em relação a e . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Como é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante, então:

Resposta

Portanto, o vetor gradiente da função no ponto é:

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