Determine as equações do plano tangente ao gráfico da função dada, no ponto dado.
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em
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. É um plano que “toca” a superfície da função em um ponto específico e tem a mesma inclinação que a superfície naquele ponto. A fórmula geral para o plano tangente a uma função
no ponto
é:
Onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o valor de
no ponto
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Similarmente, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 5
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos substituir esses valores na fórmula do plano tangente:
Resposta
A equação do plano tangente é
.