Determine as equações do plano tangente ao gráfico da função dada, no ponto dado.
© f(x, y) = ln(1 + x^2 + y^2) em (0, 0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. É um plano que “toca” a superfície da função em um ponto específico e tem a mesma inclinação que a superfície naquele ponto. A fórmula geral para o plano tangente a uma função no ponto é:
Onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o valor de no ponto :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
Similarmente, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Agora que temos , e , podemos substituir esses valores na fórmula do plano tangente:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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