Seja
. Determine o valor de:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
. A tarefa é encontrar a derivada parcial mista
. Isso significa que vamos derivar a função primeiro em relação a
, depois três vezes em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar regras de derivação múltipla.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
em relação a
. Lembre-se que, ao derivar em relação a
, tratamos
como constante.
A função é:
Derivando cada termo em relação a
:
-
-
(usando a regra da cadeia) -
-
-
-
Então, a primeira derivada em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Isso vai nos dar
.
Derivando cada termo de
em relação a
:
-
-
: - Aqui usamos a regra do produto: derivada de
- Primeiro, derivada de
é , então:
- Aqui usamos a regra do produto: derivada de
-
-
Então:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
novamente para obter
.
Derivando cada termo de
em relação a
:
-
-
: - Vamos aplicar a regra do produto novamente:
- Derivada de
é - Derivada de
é - Então:
-
Então:
Passo 5
Vamos derivar
em relação a
mais uma vez para obter
.
Derivando cada termo de
em relação a
:
-
-
: - Vamos simplificar a expressão dentro do parênteses:
- Agora, derivando:
- Então:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores
e
na expressão de
.
Primeiro, calculamos as partes necessárias:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Então:
Resposta
O valor de
é 4318.