Seja f(x, y) = 6 x^5 y^3 - 4 x y^2 - 6 x y + 6 y + 9 - 2 x^2. Determine o valor de:
c) f_yxx(2,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, . A tarefa é encontrar a derivada parcial mista . Isso significa que vamos derivar a função primeiro em relação a , depois três vezes em relação a . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar regras de derivação múltipla.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar em relação a . Lembre-se que, ao derivar em relação a , tratamos como constante.
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  • (usando a regra da cadeia)
Então, a primeira derivada em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Isso vai nos dar .
Derivando cada termo de em relação a :
  • :
    • Aqui usamos a regra do produto: derivada de
    • Primeiro, derivada de é , então:
Então:

Passo 4

Vamos derivar em relação a novamente para obter .
Derivando cada termo de em relação a :
  • :
    • Vamos aplicar a regra do produto novamente:
    • Derivada de é
    • Derivada de é
    • Então:
Então:

Passo 5

Vamos derivar em relação a mais uma vez para obter .
Derivando cada termo de em relação a :
  • :
    • Vamos simplificar a expressão dentro do parênteses:
    • Agora, derivando:
    • Então:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores e na expressão de .
Primeiro, calculamos as partes necessárias:
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Então:

Resposta

O valor de é 4318.

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