Um pato, enquanto nada, descreve uma circunferência de equações paramétricas x = cos(t) e y = sen(t). A temperatura da água é dada pela função T(x, y) = x^2 * e^y - x * y^3. Determine a expressão da derivada dT/dt Usando a regra da cadeia.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: Temos um pato que nada descrevendo uma circunferência com equações paramétricas e . A temperatura da água é dada pela função . Precisamos encontrar a derivada usando a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a regra da cadeia para derivadas de funções de várias variáveis. A derivada de em relação a é dada por:

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Em seguida, derivamos as funções e em relação a :

Passo 5

Substituímos as derivadas parciais e as derivadas de e na expressão da regra da cadeia:

Resposta

Substituindo e , a derivada fica:

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