Calcule o vetor gradiente nos pontos que existe das funções abaixo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o vetor gradiente de
ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais
e
. Como
é composta por polinômio e função seno, as derivadas existem em todos os pontos
.
Passo 2
Vamos calcular
. Temos
A derivada de
em relação a
é
. Para
usamos a regra da cadeia e do produto:
Logo,
Passo 3
Agora calculamos
. A derivada de
em relação a
é zero. Para
aplicamos regra do produto e da cadeia:
Portanto,
Passo 4
Reunindo as duas parciais, o vetor gradiente de
é
Como ambas as expressões são bem definidas para todo
, o gradiente existe em todo
.