Calcule o vetor gradiente nos pontos que existe das funções abaixo
f(x, y)=x^{2}+y^{2} \operatorname{sen}(x y).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor gradiente de
f(x,y) = x^{2} + y^{2}\,\operatorname{sen}(xy)
ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Como f é composta por polinômio e função seno, as derivadas existem em todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

Vamos calcular \frac{\partial f}{\partial x}. Temos
f(x,y)=x^2 + y^2\,\operatorname{sen}(xy).
A derivada de x^2 em relação a x é 2x. Para y^2\,\operatorname{sen}(xy) usamos a regra da cadeia e do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^2\,\operatorname{sen}(xy)\bigr) = y^2 \cdot \cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy) = y^2\cos(xy)\cdot y = y^3\cos(xy).
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x + y^3\cos(xy).

Passo 3

Agora calculamos \frac{\partial f}{\partial y}. A derivada de x^2 em relação a y é zero. Para y^2\,\operatorname{sen}(xy) aplicamos regra do produto e da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^2\,\operatorname{sen}(xy)\bigr) = 2y\operatorname{sen}(xy) + y^2\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy) = 2y\operatorname{sen}(xy) + y^2\cos(xy)\cdot x = 2y\operatorname{sen}(xy) + x\,y^2\cos(xy).
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2y\operatorname{sen}(xy) + x\,y^2\cos(xy).

Passo 4

Reunindo as duas parciais, o vetor gradiente de f é
\nabla f(x,y) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\Bigr) = \bigl(2x + y^3\cos(xy),\;2y\operatorname{sen}(xy) + x\,y^2\cos(xy)\bigr).
Como ambas as expressões são bem definidas para todo (x,y), o gradiente existe em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

\nabla f(x,y) = \bigl(2x + y^3\cos(xy),\;2y\operatorname{sen}(xy) + x\,y^2\cos(xy)\bigr).

Exercícios relacionados